条件概率，乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的解释（概率论）

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条件概率

公式 ：

设A、B为任意两个事件，则当P(A) > 0时称为在已知事件A发生的情况下发生的事件B的概率，并记作P(B|A)。它被定义为P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} ~~~~~~~~~~(其中 P(A) > 0)

解释：

以投骰子 游戏为例，设事件 A=\{1,2,3,4,5\}，事件 B=\{1,2,3,6\}

则“已知事件A发生时，事件B发生的概率”表示为：已知投出的点数属于集合A中的某一个，则其同时属于集合B中的某个的概率是多少？

为了求取AB的交集。首先需要计算集合A和集合B的所有共同元素。当投掷结果属于集合 AB 时，则事件B也会随之发生。

所以 P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{3}{5}

乘法公式

公式 ：

当概率 P(A) 大于零时，则

注： A_i 先于 A_{i+1} 发生时用此公式

解释：

将条件概率公式 的分母 P(A) 挪过去，就得到了该公式

全概率公式

公式 ：

当满足以下条件时：
所有子集\bigcup_{i=1}^n A_i=\Omega；
各个子集彼此互不相交；
每个子集的概率值均大于零；
则对于任意事件B来说，
它可以表示为各子集与之交集的并集；
其概率等于各子集的概率乘以其条件下发生的概率之和。

解释：

假设存在多个事件 A_i ，每一个Ai的出现都会对B的概率产生影响（这种影响可能为零）。相应地 ，B发生的概率即为P(B)

假设，在我们计划派出 张三、李四、王五 三人中的一个去盗窃物品时，在分配任务时他们各自的被派可能性分别为：\frac{1}{10}、\frac{3}{10}、\frac{6}{10}。而在执行盗窃行动中他们各自成功的可能性分别为 0、\frac{1}{3}, \frac{1}{2} 。那么，请问物品最终被盗窃成功的可能性是多少？

以这个实例为例，在该情境下

人物	张三	李四	王五
被委派事件	A_1	A_2	A_3
被委派的概率	P(A_1)=\frac{1}{10}	P(A_2)=\frac{3}{10}	P(A_3)=\frac{6}{10}
被指派且偷窃成功的事件	A_1B	A_2B	A_3B
偷窃成功的概率	P(B∣A_1)=0	P(B∣A_2)=\frac{1}{3}	P(B∣A_3)=\frac{1}{2}

那么说吧，则偷取成功的概率即为此处所求：
计算如下：
首先有 P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) P(B|A_i)
展开计算得：
\frac{1}{10}\times 0 +\left( {\textstyle\frac{3}{10}}\times{\textstyle\frac{1}{3}}\right)+\left({\textstyle\frac{6}{10}}\times{\textstyle\frac{1}{2}}\right)= {\textstyle\frac{2}{5}}

贝叶斯公式（逆概公式）

公式 ：

当这些满足以下条件时：

• 一系列事件\{A_1, A_2, ..., A_n\}的并集覆盖了整个样本空间\Omega；
• 任意两个不同事件之间没有重叠（即互不相交）；
• 每个事件的概率均大于零。
  对于任何概率非零的事件B而言，
  其在给定B时各个事件Aj的概率计算式为：

P(A_j | B) = \frac{P(A_j) P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B|A_i)}

其中j = 1, 2, ..., n.

解释 ：

贝叶斯公式基于全概率公式提出了逆运算的概念。其核心意义在于：当观察到B事件发生时，需要确定导致这一结果的原因可能是哪个 A_j 事件。

还是用上面的例子吧。目前的东西已被偷窃了。我想明确了解'张三、李四和王五分别实施了哪些行为'的概率。

人物	张三	李四	王五
被委派事件	A_1	A_2	A_3
被委派的概率	P(A_1)=\frac{1}{10}	P(A_2)=\frac{3}{10}	P(A_3)=\frac{6}{10}
被指派且偷窃成功的事件	A_1B	A_2B	A_3B
偷窃成功的概率	P(B∣A_1)=0	P(B∣A_2)=\frac{1}{3}	P(B∣A_3)=\frac{1}{2}
东西已经被偷，是谁干的事件的概率	P(A_1∣B)	P(A_2∣B)	P(A_3∣B)

将 P(A_jB) 求得，分别是：
\begin{aligned} P(A_1 | B) &= \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{1}{10}\times 0}{2/5} = 0 \\ \\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{3}{10}\times \frac{1}{3}}{2/5} = \frac{1}{4} \\ \\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{6}{10}\times \frac{1}{2}}{2/5} = \frac{3}{4} \\ \\ \end{aligned}

通过上述计算可以看出，在贝叶斯公式中分母即为全概率公式的结果即是物品被盗成功发生的概率而分子则为此人被指派去盗取且成功盗取的概率

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参考资料

• 张宇概率论9讲
• 张宇概率论基础班