求解直线外一点垂足matlab,点到直线方程的距离、垂足、对称点
问题描述1：
给定某一点的位置参数（x₀,y₀）和一条直线的表达式Ax+By+C=0；涉及计算以下三项内容：该点至直线的距离d；确定该点在直线上垂足的具体坐标（x,y）；并找出该点相对于这条直线的对称坐标（x',y'）。
解决方法：
(1)距离：
d = ( Ax0 + By0 + C ) / sqrt ( AA + BB );
这个“距离”有符号，表示点在直线的上方或者下方，取绝对值表示欧式距离。
(2)垂足：
求解两个方程：(a)、Ax + By + C = 0;(b)、(y - y0) / (x - x0) = B / A;
解得，x = ( BBx0 - ABy0 - AC ) / ( AA + B*B );
y = ( -ABx0 + AAy0 - BC ) / ( AA + B*B );
(3)对称点：
方法一：求解两个方程：(a)、A*( x’+x0 ) / 2 + B*( y‘+y0 ) / 2 + C = 0; (b)、(y’ - y0) / (x‘ - x0) = B / A;
方法二：把问题转化为求解已知点关于垂足的对称点：
首先，求出垂足；则x’ = 2x - x0; y‘ = 2y - y0;
解得，x’ = ( (BB - AA)x0 - 2ABy0 - 2AC ) / ( AA + BB );
y‘ = ( -2ABx0 + (AA - BB) * y0 - 2BC ) / ( AA+B*B );
方法三：首先，求一系数k，k = - 2 * (Ax0 + By0 + C) / (AA+BB);
则， x' = x0 + k * A;
y' = y0 + k * B;
/*** Description 求点到直线的垂足
*@paramx1
- 点横坐标
*@paramy1
- 点纵坐标
*@paramA
- 直线方程一般式系数A
*@paramB
- 直线方程一般式系数B
*@paramC
- 直线方程一般式系数C
@return垂足点/
private static Point getFootOfPerpendicular(double x1, double y1, double A, double B, doubleC) {if (A * A + B * B < 1e-13)return null;if (Math.abs(A * x1 + B * y1 + C) < 1e-13) {return newPoint(x1, y1);
else clause that computes the new point as follows: newX is equal to (B squared multiplied by x1 minus the product of A and B with y1 minus A times C) divided by the sum of squares of A and B. Similarly, newY is equal to (-A times B times x1 plus A squared multiplied by y1 minus B times C) divided by the same denominator. The computed point is then returned.
}
}/*** Description 点到直线的距离
*@paramx1
- 点横坐标
*@paramy1
- 点纵坐标
*@paramA
- 直线方程一般式系数A
*@paramB
- 直线方程一般式系数B
*@paramC
- 直线方程一般式系数C*/
private static final Double getDistanceOfPerpendicular(double x1,
double y1, Double A, Double B, Double C) {
Double distance = Math.abs(((A * x1 + B * y1) + C)
/ Math.sqrt((AA) + (BB)));
return distance;
}
}public static voidmain(String[] args) {//直线方程为 :-1x+1y+0=0,也就是y=x+0
double A = -1d, B = 1d, C =0d;//点0,1到之前y=x+0的垂足
Point point = getFootOfPerpendicular(0, 1, -1, 1, 0);
System.out.println(point.getX()+ "," +point.getY());//点0,1到之前y=x+0的距离
double distance = getDistanceOfPerpendicular(0, 0, -1, 1, 0);
System.out.println(distance);
}
问题描述2：
给定点位置(x_0, y_0)和位于直线上指定位置(x_1, y_1)及(x_2, y_2)的所有信息；计算以下内容：首先求解该点到这条直线的距离d；其次确定该直线上与该点连线垂直的那个交点(x, y)；最后计算出与之对应的镜像位置(x', y')。
解决方法：
方法一：将两点式的直线方程转换为一般形式，则其中A等于y₂减去y₁；B等于x₁减去x₂；C等于x₂乘以y₁减去x₁乘以y₂。代入上述公式后即可计算相应的距离、垂足以及对称点的位置。
方法二：
(a)距离：
首先，求出垂足的坐标；
则d = sqrt( (x - x0) * (x - x0) + (y - y0) * (y - y0));
(b)垂足：
第一步，请确定一个系数k：令直线的起点和终点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，考虑点C(x₀, y₀)，位于直线之外；其垂足为D，并定义k=|AD|/|AB|= 垂足D至起点A的距离与起点A至终点B距离的比例
则，k * AB = AD = AC + CD，又 AB * CD= 0；所以，k * AB* AB = AC *AB，故 k =AC * AB / (AB * AB)。
带入坐标，即得， k = ( (x0- x1) * (x2 - x1) + (y0 - y1) * (y2 - y1) ) / ( (x2 - x1) * (x2 - x1) + (y2 - y1) * (y2 - y1) ) ;
则 x = x1 + k*(x2 - x1); y = y1 + k*(y2 - y1);
(c)对称点：
同问题描述1中的方法。