实验1 系统响应及系统稳定性
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Experiment 1 Response of the system and its stability
实验1 系统响应及系统稳定性
- 实验安全规则（本实验项目安全注意事项）
- 本实验通过Matlab软件实现数字信号处理及DSP应用的仿真模拟，在不配置硬件的情况下运行，请勿在计算机桌上开启其他任何硬件设备。
- 本实验可由单人一台计算机独立完成，亦可由两人共享一台机器协同操作；三人一组则被禁止参与。
二、实验指导
****1.****实验目的
（1） 掌握求系统响应的方法。
（2） 掌握时域离散系统的时域特性。
（3） 分析、 观察及检验系统的稳定性。
2.实验原理与方法
从时域角度看,表征系统特性的手段包括差分方程与单位脉冲响应;而频域则通过系统函数来表征这些特性.已知输入信号可以通过差分方程、单位脉冲响应以及系统函数来计算其对应系统的输出.本次实验专注于时域分析.借助计算机实现递推法来解决差分方程的问题较为常见;其中最简便的方式是调用MATLAB语言提供的工具箱中的filter函数.同时还可以利用MATLAB语言提供的工具箱中的conv函数来计算输入信号与其单位脉冲响应之间的线性卷积,并由此获得系统的输出.
系统在时域方面的特性主要体现在其线性时不变性质、因果性和稳定性等特征上。研究者将重点放在实验系统的稳定性分析上，并着重考察实验系统在稳定状态下的行为特征及其动态过程表现。涵盖分析的内容包括系统的暂态响应特性和稳定运行状态下的响应特性情况。
系统的稳定性能通过限定输入信号在有界范围内时观察到输出结果是否保持在合理范围内来体现。此外，在分析系统特性时, 若其单位脉冲响应序列满足绝对收敛性, 则该系统被视为稳定。具体而言, 在差分方程模型中, 系统的稳定性特征主要取决于其系数参数的选择与排列组合。
在工程实践中，并非无法对所有有界输入信号进行稳定性检查；而是无法对所有有界输入信号进行稳定性分析或验证。一种常用的方法是在系统的输入端施加单位阶跃信号序列，并观察其输出特性；通过分析系统的单位脉冲响应是否满足绝对可和的条件来判断系统的稳定性；如果测试结果显示系统的输出趋于一个常数（包括零状态），则可以认为该系统是稳定的。
当时间趋向于无穷大时（或趋于无限大），系统的稳态输出即为此系统的行为。假设系统处于稳定状态，则输入信号施加于系统后，在一段时间内表现为暂态响应过程：随着时间常数τ（此处τ=1/α）增加，在此过程中振幅逐渐衰减并趋于恒定值。随后进入稳态响应阶段。
注意在以下实验中均假设系统的初始状态为零
3****．实验内容、步骤及过程********
编写一个计算机程序来实现以下功能：首先生成输入信号以及单位脉冲响应序列；然后利用数字信号处理中的卷积运算或递归滤波器函数来计算系统输出；最后实现对信号波形进行可视化显示。
（2） 给定一个低通滤波器的差分方程为
y(n)=0.05 x(n)+0.05 x(n －1)+0.9 y(n －1)
输入信号 x 1(n)=R 8(n)
x 2(n)=u(n)
① 分别求出 x 1(n)=R 8(n)和 x 2(n)=u(n)的系统响应 y 1(n)和 y 2(n)，并画出其波形。
② 求出系统的单位脉冲响应， 画出其波形。
（3）给定系统的单位脉冲响应为
h 1(n)=R 10(n)
h 2(n)=δ(n)+2.5 δ(n －1)+2.5 δ(n －2)+δ(n －3)
用线性卷积法求 x 1(n)=R 8(n)分别对系统 h 1(n)和 h 2(n)的输出响应 y 21(n)和 y 22(n)，并画出波形。
（4） 给定一谐振器的差分方程为
y(n)=1.8237 y(n －1)－0.9801 y(n －2)+b 0 x(n)－ b 0 x(n －2)
令 b 0=1/100.49，谐振器的谐振频率为0.4 rad。
① 用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为 u(n)时，画出系统输出波形 y 31(n)。
② 给定输入信号为
x(n)=sin(0.014 n)+sin(0.4 n)
求出系统的输出响应 y 32(n)，并画出其波形。
****4.****实验数据处理及结论
（1）实验结果截图上传学习通课程作业，简述在时域求系统响应的方法。
（2）阐述通过实验判断系统稳定性的方法，并对上述第三步实验中的系统稳定输出波形进行考察。
（3）对各实验所得结果进行简单分析和解释，得出合理的结论。
（4）简要回答思考题。
（5）打印程序清单和要求的各信号波形，附在本项内或粘贴在本项。
****5.****实验思考题
为了研究理想采样序列特性而进行的实验中，在不同采样率下观察其傅里叶变换频谱时, 数字频谱特征度量值是否一致？这些频谱特征与其对应的模拟频谱特征值是否存在一致性？这种一致性出现的原因是什么？
针对卷积定理验证实验，在选择不同的频域采样点数值M时（如选M=10和M=20），分别对序列进行傅里叶变换后得到
所得结果之间有无差异? 为什么?
6.实验收获与建议
在撰写实验报告书结尾时, 应着重阐述自己在本实验项目中的收获心得体会和感想, 并针对实验项目或实验室工作提出一些建设性的意见和建议. 三 实验总结与建议
****1.****实验参考程序
实验1程序：exp1.m
%实验1：系统响应及系统稳定性
%====================================
%内容1：调用filter解差分方程，由系统对u(n)的响应判断稳定性
A=[1, -0.9]; B=[0.05, 0.05]; %系统差分方程系数向量B和A
x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 zeros(1, 50)]; %产生信号x1n=R8n
x2n=ones(1, 128); %产生信号x2n=un
hn=impz(B, A, 58); %求系统单位脉冲响应h(n)
subplot(2, 2, 1),y='h(n)';stem(hn);%调用函数stem绘图
title('(a) 系统单位脉冲响应h(n)')
y1n=filter(B, A, x1n); %求系统对x1n的响应y1n
subplot(2, 2, 2); y='y1(n)'; stem(y1n);
title('(b) 系统对R8(n)的响应y1(n)')
y2n=filter(B, A, x2n); %求系统对x2n的响应y2n
subplot(2, 2, 4); y='y2(n)'; stem(y2n);
title('(c) 系统对u(n)的响应y2(n)')
%====================================
%内容2： 调用conv函数计算卷积
x1n=[1 1 1 1 1 1 1 1 ]; %产生信号x1n=R8n
h1n=[ones(1, 10) zeros(1, 10)];
h2n=[1 2.5 2.5 1 zeros(1, 10)];
y21n=conv(h1n, x1n);
y22n=conv(h2n, x1n);
figure(2)
subplot(2, 2, 1); y='h1(n)'; stem(h1n);%调用函数stem绘图
title('(d) 系统单位脉冲响应h1(n)')
subplot(2, 2, 2); y='y21(n)'; stem(y21n);
title('(e) h1(n)与R8(n)的卷积y21(n)')
subplot(2, 2, 3);y='h2(n)';stem(h2n);%调用函数stem绘图
title('(f) 系统单位脉冲响应h2(n)')
subplot(2, 2, 4); y='y22(n)'; stem(y22n);
title('(g) h2(n)与R8(n)的卷积y22(n)')
%=====================================
%内容3： 谐振器分析
un=ones(1, 256); %产生信号un
n=0:255;
xsin=sin(0.014*n)+sin(0.4*n); %产生正弦信号
A=[1, -1.8237, 0.9801];
B=[1/100.49, 0,-1/100.4]; %系统差分方程系数向量B和A
y31n=filter(B, A, un); %谐振器对un的响应y31n
y32n=filter(B, A, xsin); %谐振器对正弦信号的响应y32n
figure(3)
subplot(2, 1, 1); y='y31(n)'; stem(y31n)
title('(h) 谐振器对u(n)的响应y31(n)')
subplot(2, 1, 2); y='y32(n)'; stem(y32n);
title('(i) 谐振器对正弦信号的响应y32(n)')
%=====================================
代码解读2****.实验结果与波形****
实验结果与波形如图所示。
3****.分析与讨论****
在分析系统时域响应时，有两种主要方法：一种是通过求解差分方程来获得系统输出，在此过程中需注意合理选择初始条件；另一种则是基于已知系统的单位脉冲响应序列，则可通过对输入信号与该系统的卷积运算来计算出系统的输出值。当用计算机求解时最好采用MATLAB语言进行编程实现。
（2）在实际应用中检验系统的稳定性时采用的方法是在输入端施加单位阶跃信号并持续观测其输出波形的变化情况。具体来说若输出波形趋于一个稳定的恒定值则可判定该系统达到稳定性否则判定为不稳定状态。其中第三个实验结果表明系统达到了稳定性
（3） 该谐振器具备对于特定频率发生共振的能力，在此实验中使用的谐振器其共振频率设定为0.4 rad,由此得到稳定波形为sin(0.4 n)。
（4）当输入信号为无限长序列时，系统单位脉冲响应表现为有限长序列。可采用分段线性卷积法计算系统响应的具体方法可在DFT一章中找到。
当信号经过低通滤波器处理时，则其高频成分被抑制，在时间域上表现为变化速度降低；特别是在信号发生突变的地方会出现过渡区。由此可见，在输入一个矩形脉冲序列时；其输出序列在两端呈现明显的过渡区域；可见第一个实验结果中的波形图。