连续（离散）时间信号的傅里叶分析

连续（离散）时间信号的傅里叶分析

通过数学手段实现时域信号向变换域的转换，在实际应用中极大地方便了对信号与系统的深入研究。当我们深入学习数字信号处理技术时，会涉及多种频域分析方法，在这些方法中最基本的就是傅里叶分析。本文旨在系统梳理傅里叶级数（FS）、傅里叶变换（FT）、离散傅里叶级数（DFS）、离散时间傅里叶变换（DTFT）以及快速傅里叶算法（FFT）。

1.傅里叶级数FS

任何周期信号都可以表示为多个正弦波叠加的结果（数量不限）。这些正弦波具有特定频率关系（基频整数倍），然而它们的振幅与相位并无固定限制。

对于傅里叶级数的推导过程此处不做详细阐述，请参考这篇博客：傅里叶级数的推导

傅里叶级数承担了揭示周期信号频率成分的任务。它通过积分运算得到系数来清晰地展现连续周期信号在不同频率上的能量分布情况。对于那些在时域上显得复杂难以处理的周期信号，在进行傅里叶变换后会发现其频谱图具有显著的简洁性与规律性特征。数学表达式如下：
a_k=\frac{1}{T}\int_T{x\left( t \right) e^{-jk\frac{2\pi}{T}t}dt} \\ x\left( t \right) =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_ke^{jk\frac{2\pi}{T}t}}

2.傅里叶变换FT

对于周期性信号而言，傅里叶变换表现出良好的效果；然而，在面对非周期性信号时情况如何呢？我们可以选取方波作为示例，并令其持续时间趋近于无限长，在这种极限情况下，相邻高电平之间的时间间隔变得无限大。此时，在一定时空中可以将其视为非周期性信号进行分析。

对此过程展开分析可知，在周期不断增加的情况下，频谱间隔逐步缩短的同时伴随其幅度逐渐减少。当周期趋于无穷大时，在此情况下频谱将转化为连续谱而此时其幅度趋向于零。

What is the significance of this analysis? Despite the fact that all frequency components are zero, there are still notable differences in magnitude across various frequencies. For instance, some frequency bands exhibit significantly higher values compared to others, while certain frequencies show only minimal contributions. This observation is akin to analyzing a curve with varying thickness, where some regions are thicker and others thinner. In order to better understand the distribution of these frequency components, we introduce the concept of power spectral density. By multiplying both sides of the exponential Fourier series formula with a time constant T (which in this case is an infinitely large value), we effectively transform discrete spectral lines into a continuous curve that represents the distribution of energy across different frequencies. This curve, known as the power spectral density curve, provides a more comprehensive view of how energy is distributed in the signal. Of course, this explanation is quite simplified, and I admit I'm not entirely clear on how multiplying zero by infinity yields a finite non-zero value... haha

其傅里叶变换的形式为以下积分表达式：

X(jΩ) = ∫_{-∞}^{+∞} x(t)e^{-jΩt} dt

其中x(t)即为此函数f(t)=x(t)在时间域中的表现，
而其逆变换则由下式给出：

x(t) = 1/(2π) ∫_{-∞}^{+∞} X(jΩ)e^{jΩt} dΩ

其中X(jΩ)即为此函数f(t)=x(t)在频率域中的表示

让我们来探讨一下FT与FS之间的关系。 FS计算出来的频谱幅度能够准确地反映信号各分量的真实幅度 而傅里叶变换则得到的是频谱密度 并非信号分量的真实大小 傅里叶变换实际上是傅里叶级数乘以一个无限大的时间周期T 这一过程成功弥补了傅里叶级数无法分析非周期信号这一缺陷 同样地 周期信号也能进行傅里叶变换 根据之前的逻辑 将其傅里叶变换定义为X(jΩ) = 2πΣ_{k=-∞}^{+∞} a_k δ(Ω - k2π/T) 其中X(jΩ)即为该周期信号的傅里叶变换 结合前面所述 周期信号在一个周期内的傅里叶变换与其对应的傅里叶级数系数a_k之间存在T倍的关系 即a_k = (1/T)X(jk2π/T)

3.离散傅里叶变换DFS

在深入探讨离散时间信号的傅里叶分析之前，请允许我们首先介绍DFS（即离散傅里叶变换）的概念。其时域与频域均为离散序列，则便于将该算法程序化并由计算机执行，在实际信号分析过程中通常采用这种方法作为基础工具。

下面直接上结论，在离散时间信号处理领域中存在一个重要的结论：任何周期为N的离散时间信号都可以表示为N个不同频率正弦波（即谐波分量）之和。这些谐波分量的具体频率特征为其基频乘以0,1,\dots,N-1的结果。

此段主要介绍了离散傅里叶级数（DFS）的基本公式及其相关特性。
其中指出：在离散傅里叶级数（DFS）中存在两种不同的表达形式。
具体而言：
第一种形式直接包含了归一化因子1/N；
第二种则将其整合到x[n]的表达式中，
从而避免了将归一化系数分配给a_k项，
这在信号周期较大时能够有效防止a_k值趋近于零的现象。
然而，
我认为第一种处理方式更能贴近DFS的核心理念，
同时也便于直观理解其与DTFT之间的联系。
因此，
本文采用了第一种处理方式。

DFS很像FS，但他们有本质的区别：FS存在收敛问题和吉布斯现象，而DFS则没有。关于吉布斯现象请看这篇文章：什么是吉布斯现象。简单来说，吉布斯现象发生在信号的不连续点。不连续点需要无穷的频率分量来逼近，而实际中的信号采样系统只能采样一定的频率范围，因此就损失掉了高频分量，产生Gibbs现象，表现为振铃效应和9%的上下冲。

4.离散傅里叶变换DFT

在时域和频域中表现为周期为N的无限延伸序列的DFS，在其定义域内仅有一个周期内的N个采样点包含了有意义的信息内容。由此可见，在时域或频域中只需要关注一个完整的周期即可掌握其余所有时刻的状态信息同样能够被完整描述。通过截取DFS的一个完整周期区间，则可以直接获得其离散傅里叶变换（DFT）的结果。因此，在实际应用中选择仅计算一个有限区间内的变换值不仅简化了计算过程更为适合计算机处理。因为传统的傅里叶级数理论无法直接应用于离散时间信号分析这一限制因素而未能发展出类似的严格推导过程

本文将阐述离散傅里叶变换（DFT）的时间分辨率与频率分辨率的相关概念。当处理一个采样率f_s的信号时，其时间分辨率为\frac{1}{f_s}即对应的采样间隔为T_s = \frac{1}{f_s}。相应地，在DFT分析中，相邻两个频率分量之间的间隔为\frac{f_s}{N}, 通常称为频率分辨率df。

两者之间的关系表现为以下公式：

df = \frac{fs}{N} = \frac{1}{T_s N} = \frac{1}{T}

其中T表示信号的有效时长，在进行DFT运算时通常会采用补零的方式。但这种补零操作不会提升信号的有效持续时间。

时间分辨率T_s与频率分辨率df之间的关系由频域取样点数量所决定。当时间分辨率T_s越大时，在频域上的采样范围会越大；同时，“固定点DFT变换”的计算结果中各固定点之间的间隔也会增大，“频率分辨率df”的值随之降低。因此，在信号处理中选择合适的采样率对于提高分析精度至关重要。确保能够捕捉到信号中的所有细节信息

5.离散时间傅里叶变换DTFT

与从FS到FT的过程相仿，在 DFS向 DTFT 的演变中，在时域序列变为非周期时，在其 DFS转化为连续形式的同时趋近于零值。当对 DFS 公式两边乘以 N（趋向无穷大）时得到 DTFT 转换关系式：
X\left( e^{jw} \right) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty}{x\left[ n \right] e^{-jwn}}
同时满足：
x\left[ n \right] =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{+\pi}{X\left( e^{jw} \right) e^{jwn}dw}

可以确定地说，在时域中呈现周期性的信号经DTFT处理后会转化为频域中的冲激串序列。值得注意的是，在连续时间域中的周期信号经傅里叶变换也会呈现出类似的冲激特性。此外，在频域中这些冲激的位置和间距都与原始信号的时间特性存在紧密联系。根据理论分析可知，在这种情况下DTFT的结果强度与其对应的DFS系数x[k]之间存在固定的比例关系。公式如下：
x\left( e^{jw} \right) =2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty}{a_k\delta \left( w-k\frac{2\pi}{N} \right)}

注

a_k=\frac{1}{N}X\left( e^{jk\frac{2\pi}{N}} \right)

6.快速傅里叶变换算法FFT

FFT是DFT的一种快速算法，巧妙利用了DFT运算中的对称性，降低了算法复杂度。FFT分为时间抽取FFT（DIT-FFT）、频率抽取FFT（DIF-FFT）。这里放几个视频，便于大家理解FFT的蝶形算法及其应用。
巧妙理解FFT算法思想
快速理解离散傅里叶变换和FFT
如何理解FFT公式到蝶形图的过程

在运算点数量达到2^{n的形式时（其中n为整数），FFT算法能够形成完美对称的蝶形结构。然而，在实际应用中（尤其是实验数据分析场景），由于采集到的数据序列长度M通常并非恰好为2的整数次幂（即M≠2}n），为了适应FFT算法的要求，在这种情况下可以通过向数据末尾添加零值（补零操作）来实现数据长度的有效扩展。

7.各大变换的关系

下图描述了五种傅里叶分析的关系，可结合上述说明加深理解。

时域	频域
FS	连续、周期	离散、非周期
FT	连续、非周期	连续、非周期
DFS	离散、周期	离散、周期
DTFT	离散、非周期	连续、周期
DFT（同DFS）	离散、周期	离散、周期

这就是整篇文章的核心内容呢？这次尝试撰写博客文章也算是一次自我梳理的过程吧！如果有任何疑问或建议，请随时告知我吧！瑞思拜~