矩阵的特征值与特征向量及性质及相似矩阵

当

时

列方程组

解得：

设

则

解为

当

时

列方程

设X2=0 X3=1，则x1=2

x3=0,x2=1，则X1=-2

则有

,C1,C2不同时为零。

性质：

A和A

(A的转置)有相同的特征值

(A转置向外提)

3).n个特征值

,所有的特征值之和等于矩阵的主对角线的元素之和

\sum_{i=1}^{i=n}\lambda _{i}=\sum_{i=1}^{i=n}\lambda _{aii}

所有的特征值相乘等于A的行列式

\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\lambda _{n}=\left |A \right |

从中可知，要想使A可逆，所有的特征根都不能为0。

相似矩阵

A、B是n阶方阵，存在n阶可逆P

P^{-}AP 则A\sim B(A相似于B)

反身性：A\sim A E^{-}AE=B

对称性

PBP^{-}=A

3),B\sim C \Rightarrow A\sim C(A与B相似。B与C相似，得出A与C相似)

\because A\sim B \therefore P^{-}AP=B

\because B\sim C \therefore Q^{-}BQ=C

Q^{-}P^{-}APQ=(PQ)^{-}APQ=C

温故逆矩阵的一些性质：

相似矩阵的性质

满足性质1）时，则A,B有相同的特征根；矩阵A与矩阵B的行列式的值相等；矩阵A与矩阵B的迹相同。

性质2）,A可逆的充要条件是B可逆。A^{-}\sim B^{-}

A与B同时可逆，或同时不可逆。

\because B^{-}=(P^{-}AP)^{-}=P^{-}A^{-}P \therefore A^{-}\sim B^{-}

性质3），如果** ，则A^{M}\sim B^{M}**

P^{-}AP=\Lambda(对角形)

与对角形矩阵相似的条件

定理 ：A相似于\Lambda，A有n个线线无关的特征向量

P^{-}AP=\Lambda=\begin{vmatrix} \lambda 1 & & \\ & \lambda 2 & \\ & & \lambda n \end{vmatrix}

p=(\alpha _{1},\alpha _{2}....\alpha _{n})

推论：

A有n个互异的特征值，A\sim \Lambda

例2 A=\begin{pmatrix} 3 & 2& -1\\ -2 & -2 &2 \\ 3 &6 & -1 \end{pmatrix},相似于对角形 P=? =?

解：

先求特征值

进行列变换，第三列加到第一列

The determinant of the matrix λE − A is equal to the determinant of the matrix with entries λ−3, −2, 1 in the first row; 2, λ+2, −2 in the second row; and −3, −6, λ+1 in the third row. This is also equal to the determinant of a matrix obtained by adding twice the first row to the second row and subtracting two times the first row from the third row.

=(\lambda -2)^{2}(\lambda +4)

得\lambda _{1}=-4，

\lambda _{2}=\lambda _{3}=2