[论文笔记]On the Importance of Uncertainty Representation in Active SLAM
On the Importance of Uncertainty Representation in Active SLAM
本文旨在突出表示与量化不确定性的重要性，并以此评估机器人在每一时间步的位置估计置信度。研究结果表明，在表征不确定性方面采用微分形式更为有效，并能确保所有优化标准均呈现A-opt、D-opt、E-opt以及香农熵等性质的一致性和稳定性
介绍
主动SLAM算法旨在通过有限的时间和计算资源，在环境中规划机器人的运动轨迹，并通过扩大探索范围来降低对状态估计的不确定性。在算法的探索阶段，机器人将在未知区域进行导航操作，此时状态估计的不确定性趋于无限大[1]。只有当机器人重新访问先前已知区域并发现回路闭合时，其定位不确定性才会得到控制并逐步降低[2]。
本文重点是表示和量化不确定性的重要性。
文献详细阐述了三维不确定性概率表示的两种基本模型：一种是绝对型表示方法（Absolute Representations），另一种是差分形式（Differential Representations）。
在绝对模型框架内讨论机器人姿态与位置时，在相对选定参考系下的绝对位置数据通常采用概率统计模型进行描述，并且这种统计模型通常是高斯分布。其中估计的位置是由预期位置变量所决定的。协方差矩阵则反映了这种不确定性。
在差分模型中，在不确定性的影响下采用地方化的表达方式，在机器人定位问题中采用基于绝对坐标的最优逼近策略进行定位，在定位精度上可利用基于相对坐标的变化信息进行辅助定位计算。其中的位置变化信息常被建模为一个具有高斯概率特性的随机变量序列。
主要通过基于协方差矩阵的单一数值指标来量化不确定性，在SLAM领域这种方法最为广泛采用；其中一些主动式SLAM算法遵循特定优化标准；这一标准的目标是衡量地图与机器人姿态的不确定性。
A-opt ： 协方差矩阵的迹或其特征值的和
D-opt ：协方差矩阵的行列式或其特征值的乘积
E-opt ： 最大特征值
一些论文指出，在视觉-语义 SLAM 等相关领域中，D-Optimal 方法展现出卓越的效果。此外还可以采用基于信息论的 Shannon's entropy 方法
在主动式Simultaneous Localization and Mapping（SLAM）场景中，在探索过程中保持这些决策标准的一致性至关重要。具体而言，在这一阶段不仅要正确地将协方差矩阵中的不确定性进行量化封装，并且这一量化过程正在逐步增强；随着机器人定位过程的推进，在探索阶段与机器人定位相关的不确定性会逐步提升。因此，在维持所考察的标准一致性的同时采取相应措施显得尤为重要。
（有必要一直保持单调么，未来预期的总不确定性是否更加重要）
本文探讨了二维与三维空间中不同决策准则下的单调特性问题。其结果表明该方法的有效性受到不确定性表示形式和机器人姿态方向的影响因素。
本文研究结果证实采用差商法表示不确定性时具有显著优势，并且所有优化标准均遵循单调特性（A-opt, D-opt, E-opt, 和香农熵。
Spatial Uncertainty Propagation
不确定性的绝对表示
在经典的概率模型中，在A和B之间的相对位置关系可以通过高斯函数来描述。通过矢量X_{AB}的均值来计算其估计位置，并通过与之相关的协方差矩阵来衡量不确定性的程度。
\left. \begin{array}{l}{\text{其中}}\quad\hat{x}_{A B}\quad\text{表示}\quadx_{A B}\quad\text{的期望值}}\\ {\text{而}}\quad\Sigma_{A B}\quad\text{则代表了}\quadx_{A B}\quad\text{与其估计值}\quad\hat{x}_{A B}\quad\text{之间的协方差矩阵}}\end{array} \right.
对于二维情形，在此定义中x_{AB}表示为一个三维向量坐标值(x_{AB}, y_{AB}, θ_{AB})^T；而对于三维情形，则定义为四维向量坐标值(x_{AB}, y_{AB}, z_{AB}, ω_{AB})^T
如上图（a）所示可从图中看出两个空间位置坐标 x_{AB}和 x_{BC} 以及它们各自对应的空间位置不确定度\sum_{AB} 和 \sum_{BC} ，采用非线性变换方法可求解出点A至点C的相对位姿。
不确定性传播是通过(2)的一阶泰勒展开式[27]获得
其中 J_{1\oplus} 和 J_{2\oplus} 分别代表位置矢量相对于第一操作数和第二操作数组成的雅可比矩阵，在二维情形下，则表示为：
在三维情况下：
其中 M,R,K_1,K_2 翻滚-俯仰-航向角和欧拉角的关系，以及单位四元数的关系。
假设噪声序列不相关，x_{AC}的协方差矩阵由（3）得出，
不确定性的差分表示
该模型采用不确定性来实现位置的局部描述。机器人基于基准参考系 A 的估计位置被数学符号 \hat{x}_{AB} 所表征，并被认为是真实位置的最佳逼近。此外，估计误差则可由相对于参考框架 B 的差异性向量 d_B 进行局部描述。
其中 d_B服从正态分布，均值和协方差矩阵如下：
独立于基准参考系 A的位置不确定性。
如上图（b），变量x_{AC}是由变量x_{AB}和x_{BC}共同构成的，并且该变量还包含了相应的差异位置向量以及协方差矩阵的信息
其中 J_{CB}为x_{CB}的雅可比矩阵 ，在二维情况的表示为：
三维情况下：
其中 R_{BC} 是正交旋转矩阵，D_{BC}是与x_{BC}相关的3*3 的斜对称矩阵。
Monotonicity of Optimality Criteria
本节从最优实验设计理论的角度探讨了当机器人在主动SLAM系统中进行探索时，其最优性准则的单调性质如何表现。基于机器人位姿估计所得到的协方差矩阵，在运用不同准则来量化机器人的位置不确定性时：1）A-optimal准则（与矩阵迹呈正比）；2）D-optimal准侧（与矩阵行列式呈正比）；以及3）E-optimal准侧（与矩阵最大特征值相关）。在此分析框架下，并基于对机器人姿态相关误差的一阶线性化传播模型构建，在上述不确定性指标的具体表示方法上进行了深入探讨
不确定性的绝对表示
- 优化准则（与迹呈正比）；2) D-优化准则（与行列式的值呈正比）；3) E-优化准则（与最大特征值有关）。假设机器人姿态的相关误差在基于一阶线性化误差的一阶框架内传播，在上述意义下的不确定性采用绝对形式或微分形式的不确定性进行描述