SLAM学习笔记2：SLAM的数学表述

1.SLAM问题：

在了解了SLAM中各个模块的组成和主要功能后，我们将上升到理性层次，用数学语言来描述SLAM过程。

现在假设由无人车搭载传感器。对于传感器来说，虽然它的运动是时间连续的，但它却是在某些时刻采集数据的，这就把一段连续时间的运动变成了离散时刻t=1,2,...,k中发生的事情 。传感器在这些时刻的位置记为x1,x2,...,xk，它们构成了传感器的轨迹。传感器会在每个时刻测量到一部分路标点，得到它们的观测数据，假设有n个路标点，用y1,y2,...,yn表示。

这样，无人车的运动就可以用两件事来描述：

（1）运动：运动过程中，位置x是怎样变化的？

（2）观测：在k时刻，于xk处探测到路标点yj，如何描述这件事？

2.运动方程：

首先解决“运动”这件事的描述。通常无人车（或者机器人）会携带一个测量自身运动的传感器（例如码盘或者惯性传感器），这个传感器可以测量有关运动的参数（如位置差，加速度，角速度等），我们可以通过一个通用的、抽象的数学模型说明此事：

说明：

（1）uk是运动传感器的读数或输入

（2）wk是该过程中加入的噪声

（3）xk是k时刻传感器位置，xk-1是上一时刻传感器位置

（4）f是一个一般函数，用来描述这个过程而不指明f具体的作用方式

3.观测方程：

接下来解决“观测”这件事的描述。同样的，用一个抽象的函数h来描述这个关系：

说明：

（1）vk,j是这次观测中的噪声

（2）zk,j是传感器在xk位置上看到yj路标点时产生的观测数据

4.SLAM问题的基本方程：

（1）参数化：

上述两个方程中，f和h并没有具体说明运动和观测是怎么回事。事实上，根据无人车的真实运动和传感器种类，f和h有若干种参数化方式 （也就是将f和h写为具体的、可以用于计算的方程）。

（2）SLAM问题的基本方程：

运动方程和观测方程构成了SLAM问题的基本方程。

这样，我们就把SLAM问题建模成了一个状态估计问题 ：如何通过带有噪声的测量数据估计内部的、隐藏着的状态变量？

（3）状态估计问题的求解：

状态估计问题的求解与两个方程的具体形式 以及噪声服从哪种分布 有关。按照运动和观测方程是否为线性，可以分为线性/非线性系统；按照噪声是否服从高斯分布，可以分为高斯/非高斯系统。

1）线性高斯系统：

最简单，无偏的最优估计可以由卡尔曼滤波器给出。

2）非线性高斯系统：

使用扩展卡尔曼滤波器和非线性优化两大类方法求解。

（4）一些问题的伏笔：

1）位置x是什么？（见教材《视觉SLAM十四讲》第3，4章）

2）观测方程如何参数化？（见教材《视觉SLAM十四讲》第5章）

3）怎样求解上述方程？（见教材《视觉SLAM十四讲》第6章）