数论---整除与素数---筛法（素数筛，约数个数筛，约数和筛）

文章目录

• • • 素数定理

    • 整数的标准分解（唯一分解）

    • • 互质：

    • gcd与lcm

    • 积性函数

    • • 例题 codevs6899倒数和分解

  • ※筛法(Sieve Method)※

  • • 埃筛

    • • 时间复杂度的分析

    • 欧拉筛

    • • 理解

    • 欧拉筛求约数个数

    • 欧拉筛求约数和

    • 完结撒花

素数定理

整数的标准分解（唯一分解）

    #include<cstdio>
    int p[105],w[105],k;
    void factorize(int n)
    {
    	for(int i=2;i*i<=n;i++)
    		if(n%i==0)
    		{
    			p[++k]=i;
    			while(n%i==0)
    				n/=i,w[k]++;
    		}
    	if(n!=1)
    		p[++k]=n,w[k]=1;
    }
    int main()
    {
    	int n;
    	scanf("%d",&n);
    	factorize(n);
    	for(int i=1;i<k;i++)
    		printf("%d^%d*",p[i],w[i]);
    	printf("%d^%d",p[k],w[k]);
    }

互质：

互质（Coprime）：两个数没有公共的因数（除1以外），则这两个数互质。
将互质的两个数分别唯一分解 后，两个积式中不会出现相同 的质数 。

gcd与lcm

gcd与lcm

积性函数

例题 codevs6899倒数和分解

这里有个在数学上比较常用的操作 当a-n的形式出现在分母 不好操作，可以进行还原

关于“一一对应”的理解：n已知，是常数，而要使等式成立，显然不存在一个b的取值时有多个a，所以一定是一一对应的。

※筛法(Sieve Method)※

主要有两类：埃拉托斯特尼筛法（埃筛）和欧拉筛（线性筛），相对来说，欧拉筛的效率更高但理解起来相对困难一点。

埃筛

埃筛是用一个数组标记是否为素数，然后依次筛去这个素数的倍数，代码也比较好理解。

    bool sieve()
    {
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    		if(!vis[i])
    		{
    			prime[++pn]=i;
    			for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
    				vis[j]=1;
    		}
    }

值得一提的是 ，第11行的for循环可以从i * i开始而非i * 2（算是一个小优化）吧，因为i * 比i小的数的情况已经在之前的那个数处理过了

比如说i== 7时，可以从7 * 7开始 因为6 * 7,5 * 7的情况都已经分别在i ==6和i ==5的情况中被处理过。

时间复杂度的分析

显然，一些数被重复筛去，所以不是线性的。

筛约数个数，约数和

    bool sieve()
    {
    	for(int i=1;i<=n;i++)
    		for(int j=i;j<=n;j+=i)
    			d[j]++,s[j]+=i;
    }

欧拉筛

在埃筛的基础上，让每一个合数都只被他的最小质因子筛去，从而减小时间。

先看一波代码

    bool sieve()
    {
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{	
    		if(!vis[i])
    			prime[++pn]=i;
    		for(int j=1;j<=pn&&prime[j]*i<=n;j++)
    		{
    			vis[i*prime[j]]=1;
    			if(i%prime[j]==0) break;
    		}
    	}
    }

理解

关于vis[i * prime[j]]=1的理解：
这里不是乘上i的多少多少倍，而是把prime数组里面的所有质数当做i * prime[j]的最小质因子来做 也就是消去这个质数的i倍

关于if(i%prime[j]==0) break;的理解：
如果满足i%prime[j]==0，设i=prime[j]*k
那么下一次j++的时候 我们就会筛去s=prime[j+1] ＊i=prime[j+1] * prime[j] * k ，而这与我们想要让每个数都被他的最小质因子筛去的愿望不符合，因为这个数会在i=prime[j+1]*k 的时候被筛去。

综上，我们可以发现，i*prime[j]的最小质因子为prime[j]，当i%prime[j]时，由于prime数组是有序的，i的最小质因子也是prime[j]

欧拉筛求约数个数

d(n)表示n的约数个数（约数个数函数）
我们先复习一下约数个数的计算方法
n=p_1^{w_1}p_2^{w_2}p_3^{w_3}···p_m^{w_m}
d(n)=(w_1+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
满足d(n)=d(p_1^{w_1})d(p_2^{w_2})d(p_3^{w_3})···d(p_m^{w_m})，显然d(n)是积性函数

以下i的意义与上文的欧拉筛中的i意义相同，从2到n进行枚举 我们新定义一个num[i]表示i的最小质因子的次数
显然d[1]=1
分类讨论如下：
①若i是素数 d[i]=2
②若 i \%prime[j]\neq\ 0
i不包含prime[j] i*prime[j]只含有prime[j]的一次方
我们之前已经得到了d[i] 现在加入prime[j]这个新的因子即可

d[i*prime[j]]=d[i]*2
num[i*prime[j]]=1

③若 i \%prime[j]=0
i包含prime[j]的至少一次方
并且i的最小质因子就是prime[j]
相当于i*prime[j]跟i比起来，就是多了一个最小质因子
d[i]=(num[i]+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
d[i*prime[j]]=(num[i]+1+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
所以

d[i*prime[j]]=\frac{d[i]}{num[i]+1}*(num[i]+2)
同时，不难看出num的更新：num[i*prime[j]]=num[i]+1

    int d[MAXN],prime[MAXN],num[MAXN],vis[MAXN],pn;
    void sieve(int n)
    {
    	d[1]=1;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
    		if(!vis[i])
    		{
    			prime[++pn]=i;
    			num[i]=1;
    			d[i]=2;
    		}
    		for(int j=1;j<=pn&&i*prime[j]<=n;j++)
    		{
    			vis[i*prime[j]]=1;
    			if(i%prime[j]==0)
    			{
    				num[i*prime[j]]=num[i]+1;
    				d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
    				break;
    			}
    			d[i*prime[j]]=d[i]*2;
    			num[i*prime[j]]=1;
    		}
    	}
    	
    }

欧拉筛求约数和

首先我们还是先复习一下约数和的计算方法
n=p_1^{w_1}p_2^{w_2}p_3^{w_3}···p_m^{w_m}
s(n)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})(1+p_3 +p_3^2+···+p_3^{w3})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})

这个也非常好理解 我们如果把它们全部乘开，那么这个多项式的每一项都是n的一个约数

s(n)满足s(n)=s(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})s(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})s(1+p_3 +p_3^2+···+p_3^{w3})···s(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})，显然s(n)也是积性函数

同上，仍然定义以下i的意义与上文的欧拉筛中的i意义相同，从2到n进行枚举 我们新定义一个psum[i]表示关于i的最小质因子p的等比数列求和式
1+p+p^2+p^3+···+p^w

显然s[1]=1
分类讨论如下：
①若i是素数 ，显然： s[i]=i+1,psum[i]=i+1
②若 i \%prime[j]\neq\ 0
则i不包含prime[j] ，同上，prime[j] 一定是i∗prime[j]的最小质因子

s(i)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(i*prime[j])=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})*(1+prime[j])

则s[i*prime[j]]=s[i]*(1+prime[j])
psum[i*prime[j]]=prime[j]+1

③若i \%prime[j]=0
同上分析（和求约数个数的分析一样）
s(i)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(i*prime[j])=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1}+p_1^{w1+1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})

对比观察这两个式子：
s[i*prime[j]]=s[i]/(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})*(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1}+p_1^{w1+1})
即：

s[i*prime[j]]=\frac{s[i]}{psum[i]}*(psum[i]*prime[j]+1)
psum[i*prime[j]]=psum[i]*prime[j]+1

写程序的时候可以先更新psum 再算（调整一下顺序 看起来简洁一些）

    #include<cstdio>
    #define MAXN 1005
    int s[MAXN],prime[MAXN],psum[MAXN],pn;
    bool vis[MAXN];
    void sieve(int n)
    {
    	s[1]=1;
    	for(int i=2;i<=n;i++)
    	{
    		if(!vis[i])
    		{
    			prime[++pn]=i;
    			psum[i]=s[i]=i+1;
    		}
    		for(int j=1;j<=pn&&i*prime[j]<=n;j++)
    		{
    			vis[i*prime[j]]=1;
    			if(i%prime[j]==0)
    			{
    				psum[i*prime[j]]=psum[i]*prime[j]+1;
    				s[i*prime[j]]=s[i]/psum[i]*psum[i*prime[j]];
    				break;
    			}
    			s[i*prime[j]]=s[i]*(prime[j]+1);
    			psum[i*prime[j]]=1+prime[j];
    		}
    	}	
    }
    int main()
    {
    	
    }

以下非战斗人员请撤离

完结撒花

这篇文章写了我好久啊 数论的版块确实需要多加思考
（说得好像其他版块就不需要多加思考似的（大雾
好吧 确实值得推敲的地方比较多 虽然想的时间长了点 但也还是值得
（我扯来扯去都扯了些什么啊）

水调数声持酒听。午醉醒来愁未醒。送春春去几时回。临晚镜。伤流景。往事后期空jx。
沙上并禽池上暝。云破月来花弄影。重重帘幕密遮灯，风不定。人初静。明日落红应满径。

少年何妨梦摘星，敢挽桑弓射玉衡。