人大版统计学教材第六版学习笔记--第4章 数据的概括性度量
文章目录
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- 集中趋势的度量
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- 分类数据：众数
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顺序数据：中位数和分位数
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数值型数据：平均数
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众数、中位数和平均数的比较
- 离散程度的度量
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- 分类数据：异众比率
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顺序数据：四分位差
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数值型数据：方差和标准差
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相对离散程度：离散系数
- 分布的形状：偏态与峰态的度量
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- 偏态及其测度
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峰态及其测度
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数据分布的特征可以从三个方面进行测度和描述：
1.分布的集中趋势
2.分布的离散程度
3.分布的形状
集中趋势的度量
集中趋势central tendency指一组数据向某一中心值靠拢或聚集的程度，反映了一组数据中心点的位置所在。
分类数据：众数
众数mode一组数据中出现次数最多的变量值。也适用于顺序数据和数值型数据的集中趋势测度。
适合数据量较大的情况。
不受数据中极端值 的影响。
众数是具有明显集中趋势点的数值。
顺序数据：中位数和分位数
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中位数median是一组数据排序后处于中间位置上的变量值。也适用于数值型数据，不适用于分类数据。
不受数据中极端值 的影响。
适合研究收入分配。 -
四分位数quartile也称四分位点，是一组数据排序后处于25%（下四分位数）和75%（上四分位数）位置上的值。
数值型数据：平均数
也称均值mean一组数据相加后除以数据的个数得到的结果。不适用于分类数据和顺序数据。
是集中趋势最主要测度值。
在统计学中具有重要的地位，是进行统计分析和统计推断的基础。
是一组数据的重心所在，是数据误差相互抵消后的必然结果。
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简单平均数simple mean
根据未经分组数据计算的平均数。 -
加权平均数weighted mean
根据分组数据计算的平均数。 -
特殊的平均数：几何平均数geometric mean
是n个变量值乘积的n次方根。
变量值本身是比率的形式时，采用几何平均法计算平均比率更为合理。
主要用于计算现象的平均增长率。
众数、中位数和平均数的比较
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三者的关系
从分布的角度看，众数是最高峰值，中位数是处于中间位置上的值，平均数是全部数据的算术平均。
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三者的特点和应用场合
众数：不受极端值影响；具有不唯一性（一个、两个、多个或没有众数）；数据量较多时才有意义，数据量少时不宜使用；主要适合分类数据的集中趋势测度。
中位数：不受极端值影响；数据分布偏斜程度较大时，宜用中位数 ；主要适合顺序数据的集中趋势测度。
平均数：利用了全部数据信息；数据对称分布或接近对称分布时，宜用平均数；易受极端值的影响 ，偏态分布的数据，平均数代表性较差。
离散程度的度量
离散程度，反映各数据远离其中心值的程度。离散程度越大，集中趋势的测度值对该组数据的代表性就越差，反之，代表性就越好。
集中趋势与离散程度：中心值与代表性
分类数据：异众比率
异众比率variation ratio指非众数组的频数占总频数的比例。
衡量众数对一组数据的代表程度。
异众比率越大，说明非众数组的频数占总频数的比重越大，众数的代表性越差，反之，代表性越好。
主要适用于分类数据，顺序数据和数值型数据也可以使用。
顺序数据：四分位差
四分位差quartile deviation也称内距或四分间距inter-quartile range，是上四分位数与下四分位数之差。
反映了中间50%数据的离散程度。
四分位差越小，说明中间的数据越集中，反之，则越分散。
不受极值的影响。
因为中位数也在50%之中，四分位差在一定程度上也说明了中位数对一组数据的代表程度。
主要用于顺序数据，也可用于数值型数据，不适用于分类数据。
数值型数据：方差和标准差
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极差range
也称全距，是一组数据的最大值与最小值之差。
受极端值影响。
只利用了一组数据两端的信息，不能反映中间数据的离散情况。 -
平均差mean deviation
也称平均绝对离差，是各变量值与其平均数离差绝对值的平均数。（各变量值与平均数做差，取绝对值，再取平均值）
平均差以平均数为中心，反映了每个数据与平均数的平均差异程度，全面准确地反映一组数据的离散情况。
平均差越大，数据离散程度越大，反之，则越小。 -
方差variance
是各变量值与其平均数离差平方的平均数。（各变量值与平均数做差，取平方，取平均值
最后取平均值时，对总体数据，总体方差计算公式是除以N；对样本数据，样本方差计算公式是除以n-1，n-1称为自由度 。） -
标准差standard deviation
是方差的平方根。
标准差具有量纲 ，与变量值的计量单位相同，因此实际意义比方差清楚。 -
相对位置的度量：标准分数standard score
也称标准化值或z分数，是变量值与其平均数的离差除以标准差后的值（各变量值与平均数做差，求标准差，前者除以后者）
给出了一组数据中各数值的相对位置。
标准分数为-1.5意味着该数值低于平均数1.5倍的标准差。
标准分数的求解公式也是常用的标准化公式（减均值，除标准差），在对多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常需要对各变量进行标准化处理（标准分数平均数为0，标准差为1，0-1正态分布）。
原始数据的线性变换，没有改变组中数据的位置，也没有改变数据分布的形状。 -
相对位置的度量：经验法则
一组数据对称分布时，经验法则表明：约有68%的数据在平均数\pm1个标准差的范围之内；约有95%的数据在平均数\pm2个标准差的范围之内；约有99%的数据在平均数\pm3个标准差的范围之内。
在\pm3个标准差之外的数据，在统计上成为离群点outlier -
相对位置的度量：切比雪夫不等式 Chebyshev’s inequality
经验法适合对称分布的数据，如果一组数据不是对称分布，就用到切比雪夫不等式。
切比雪夫不等式提供了“下界”，即“所占比例至少是多少”。
对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有(1-1/k^2)的数据落在\pm k个标准差之内，其中k>1，不一定是整数。
对于k=2,3，4切比雪夫不等式的含义是：至少有75%的数据在平均数\pm2个标准差的范围之内；至少有89%的数据在平均数\pm3个标准差的范围之内；至少有94%的数据在平均数\pm4个标准差的范围之内。
相对离散程度：离散系数
方差和标准差反映的是离散程度的绝对值 ，其数值大小一方面受原变量值自身水平高低的影响，变量值绝对水平高的，离散程度的测度值自然也就大；另一方面，它们与原变量值的计量单位相同，采用不同计量单位计量的变量值，其离散程度的测度值也就不同。这直接影响不同组数据离散程度的比较。（单位不同没法进行对比）
离散系数coefficient of variation也称变异系数，一组数据的标准差与其相应的平均数之比。是测度数据离散程度的相对 统计量，用于比较不同样本数据的离散程度。
分布的形状：偏态与峰态的度量
数据分布是否对称、偏斜的程度、分布的扁平程度等。
偏态及其测度
偏态skewness一词是由统计学家皮尔逊K. Pearson于1895年首次提出的，是对数据分布对称性的测度。
测度偏态的统计量是偏态系数coefficient of skewness，记作SK。
如果数据对称分布，SK=0；SK>1或SK<-1，称为高度偏态分布；SK在（0.5，1）或（-1，-0.5）之间，称为中等偏态分布；SK越接近0，偏斜程度就越低。SK>0右偏，SK<0左偏。
峰态及其测度
峰态kurtosis一词是由统计学家皮尔逊于1905年首次提出的。它是对数据分布平峰或尖峰程度的测度。
测度峰态的统计量是峰态系数coefficient of kurtosis，记作K。
K=0，数据服从标准正态分布；K>0时为尖峰分布，数据分布更集中；K<0时为扁平分布，数据分布更分散。