博弈论——矩阵博弈

目录

一、定义

二、关键要素

1.参与者

2.策略集

3.收益矩阵

三、混合策略与混合扩充

1.混合策略

2.混合扩充

四、纳什均衡解的求取

1.定义

2.举例

例1.

例2.

总结

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一、定义

矩阵博弈（matrix game） ，又称标准式博弈 或战略式博弈 ，通常表现为二人有限零和博弈。“二人” 指博弈中有两个参与方，“有限” 表示双方的策略集都是有限的，“零和” 意味着一方的收益恰好是另一方的损失，双方的收益之和始终为零。这种博弈可以用一个矩阵来表示，因此被称为矩阵博弈。

二、关键要素

**** 矩阵博弈共有三个关键要素：参与者、策略集和收益矩阵。

1.参与者

矩阵博弈中包含两个参与者，通常记作参与者 1 和参与者 2 ，两者通过在博弈中采取不同策略以获取最大收益或最小损失。

2.策略集

设参与者 1 有 m 个纯策略：，参与者 2 有 n 个纯策略：，则参与者 1、2 的策略集分别为： ，.

3.收益矩阵

记参与者 1 采取策略 且参与者 2 采取策略 时，参与者 1 的收益为（参与者 2 的支付就是），则参与者 1 在每个策略中的收益构成一个收益矩阵（该矩阵也就是参与者 2 的支付矩阵）：
.

由于该博弈为零和博弈，因此参与者 2 的收益矩阵为。

当参与者 1 和参与者 2 的策略集、及参与者 1 的收益矩阵确定后，一个矩阵博弈就确定了。通常将一个矩阵博弈记作： .

三、混合策略与混合扩充

1.混合策略

在矩阵博弈中，参与者不一定只选择纯策略，而是可能以一定的概率分布来选择各个纯策略，这种策略称为混合策略 。参与者1的混合策略可以表示为一个 m 维的向量，其中表示参与者 1 选择策略的概率，且。同理，参与者 2 的混合策略可以表示为一个 n 维向量.

2.混合扩充

将原来只考虑纯策略的矩阵博弈扩展到混合策略空间，得到混合扩充博弈。在混合策略下，

参与者 1 的期望收益为：，

参与者 2 的期望收益为： .

四、纳什均衡解的求取

1.定义

设为矩阵博弈，其中，，，若等式：成立，，则称为博弈的值，对应的策略组合 称为该博弈的纳什均衡。

2.举例

例1.

首先介绍最著名的囚徒困境博弈 。故事设定为：两个嫌疑犯 A 和 B 作案后被警察抓住，分别关在不同的屋子里接受审讯。警察知道两人有罪，但缺乏足够的证据。警察告诉他们：如果两人都沉默，各判刑一年；如果两人都坦白，各判八年；如果一人坦白另一人沉默，坦白的放出去，沉默的判十年。

根据故事可知，这场博弈的参与者为嫌疑犯A、B，且两人是理智的，两人的策略集均为 S={坦白，沉默 } ，收益矩阵可以如下建模：（表中负数表示需要服刑的时间）

策略组合	A坦白	A沉默
B坦白	A：-8；B：-8	A：-10；B：0
B沉默	A：0；B：-10	A：-1；B：-1

个体最优选择： 从A的角度看，当B坦白时，A坦白判8年，A抵沉默10年，A会选择坦白；当B沉默时，A坦白无罪释放，A沉默会被判1年，因此A仍然会选择坦白。同理，从B的角度看，B的最佳策略也是坦白。此时，二者便达成了一个纳什均衡： （坦白，坦白）

__ 集体最优选择： 从集体的角度看，双方都沉默才是最优的，能使整体的刑期总和最小，实现集体利益的最大化。但个体的理性决策却无法达到这个集体最优的结果，体现了个体理性与集体理性的冲突。

例2.

【分析】

由参与者 1 的收益矩阵可知，参与者 1 的最大收益是 7 ，想要获得这个收益，参与者 1 会选择策略，但参与者 2 也是理智的，他会考虑用策略来应对，这样一来，参与者 1 不仅不会获得最大收益 7 ，反而会失去 11 。

如此一来，双方都不愿意冒险，而是考虑到对方必定会使自己的收益最少这一点，由此双方需要寻找到一个纳什均衡 来确保自己不会面临最坏的结果。

为了找到该矩阵博弈的纳什均衡，我们列出如下表格：

	-5	1	-9	-9	3
	5	3	4	3
	7	-1	-11	-11
	-2	0	6	-2
	7	3	6
	3	3

对于参与者 1 的策略，我们取出参与者 2 采取的所有应对策略中，使得参与者 1 获得的最小收益“ min ”，稍后在所有的“ min ”中取出最大的“ min ”，填入“ max ”。由于参与者 1 的收益就是参与者 2 的支付，因此我们要取出参与者 2 的最小收益就是取参与者 1 的最大收益，我们用类似的方法找到所有的“ max ”，并在所有的“ max ”中找到最小的“ max ”，填入“ min ”。本例中参与者 1 的收益和参与者 2 的支付的绝对值相等，都为 3 。

综上：

（1） ；

（2）该博弈的值；

（3） 的解称为该博弈的纳什均衡。

可以看出，是矩阵所在行的最小元素，也是所在列的最大元素，即：.

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总结

矩阵博弈是博弈论中的一个重要分支，它是指在二人有限零和博弈中，通过用矩阵形式来表示博弈双方的策略和收益，博弈双方依据各自的策略集进行决策，一方的收益必然意味着另一方等量的损失，双方利益完全对立，其核心目标是寻求在给定的矩阵收益结构下，各自的最优策略，以使自身收益最大化或损失最小化，最终可能达到一个稳定的策略组合，即纳什均衡。

其中经典的例子如 “囚徒困境” 就体现了个体最优选择与集体最优选择之间的矛盾，矩阵博弈在经济学、政治学、军事等诸多领域都有广泛应用，为分析和解决竞争与决策问题提供了有力的理论工具。