基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法

目 录
摘 要 i
ABSTRACT ii
第1章 研究对象背景介绍 1
第2章 小波包分析的基本原理 2
2.1 小波包变换 2
2.1.1 小波变换基本原理 2
2.1.2 Mallat算法 3
2.1.3 小波包分解与重构 3
2.2 故障模式的特征分析 4
2.2.1 小波包分解频段能量 4
2.2.2 故障类型特征向量的构造及特征分析 5
第3章 神经网络的基本原理 7
3.1 神经网络的发展简介 7
3.2 BP神经网络的基本理论 7
3.2.1 BP神经网络的结构 7
3.2.2 反向传播算法的本质 8
3.2.3 BP神经网络的停止准则 9
3.3 BP神经网络的Matlab实现 9
3.3.1 隐含层与隐含节点 10
3.3.2 激活函数的确定 10
3.3.3 学习率参数 10
第4章 D-S证据理论的基本原理 11
4.1 D-S证据理论 11
4.1.1 几个基本定义 11
4.1.2 Dempster组合规则 12
4.1.3 决策准则 12
4.2 基于神经网络分类可信度的基本概率分配函数的构造 12
第5章 仿真实验 14
5.1 数据的介绍 14
5.2 数据的预处理 14
5.3 故障诊断策略的流程图及实现 15
5.4 仿真的结果图及分析 19
5.4.1 准确率分析 19
5.4.2 计算复杂度及实时性分析 20
第6章 总结及展望 22

摘 要
通过故障诊断与容错控制课程的学习，我了解了非常多实用的故障检测、分类方法，本次课程作业针对滚动轴承这种非平稳振动信号采用的小波包分解的方法来检测故障的存在，运用神经网络来实现故障的分类，还结合D-S理论融合了多个传感器的诊断结果，提高了故障诊断的准确性并通过实验仿真证实。通过对比单一传感器的诊断结果和本次课程设计中采用方法的诊断结果，可以看出基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法能够提高滚动轴承故障诊断的准确率。
基于小波包变换的故障特征向量构造方法对滚动轴承时变、冲击信号的处理非常有效。小波包分解的得到的频段能量分布表征着滚动轴承不同的故障类型，通过检测各频段相对能量的变化可以有效地了解滚动轴承的状态。所以，可以采用小波包频段能量参数构建故障特征向量。
神经网络具有很好的自学习能力。它将小波包频段能量参数构建的故障特征向量作为输入，真实的故障状态作为输出，进而实现了对故障的分类。
最后，为表征和融合决策级的不确定性，采用了D-S证据理论。这种理论中定义的置信函数和似然函数，对信息的非精确和狭义不确定等认知方面的表示、度量、和处理比概率论更加灵活、有效。本文应用了这一理论，首先统计先验信息获得混淆矩阵进而构建出识别框架并完成基本概率赋值，然后利用给定的组合规则进行证据的融合，最终给出决策结果。
仿真的结果验证了这种诊断方法是有效性的并且具有更好的诊断效果。
关键词：故障诊断；小波包变换；滚动轴承；多传感器；D-S理论

ABSTRACT
Through the learning of fault diagnosis and fault-tolerant control courses, I learned a lot of practical fault detection and classification methods. This course’s job is to use the wavelet packet decomposition method for non-stationary vibration signals of rolling bearings to detect the presence of faults and to use nerves. The network is used to classify faults, and the DS results are combined with the diagnostic results of multiple sensors to improve the accuracy of fault diagnosis and confirm it through experimental simulation. By comparing the diagnostic results of a single sensor and the diagnostic results of the method used in the course design, it can be seen that the fault diagnosis method for rolling bearings based on wavelet packet neural network and D-S theory can improve the accuracy of fault diagnosis of rolling bearings.
The fault eigenvector construction method based on wavelet packet transform is very effective for the time-varying and impact signal processing of rolling bearings. In other words, the frequency band energy distribution obtained by the wavelet packet decomposition represents different types of faults in the rolling bearing. By detecting the relative energy changes in each frequency band, the running state of the rolling bearing can be effectively understood. Therefore, the wavelet packet energy parameters can be used to construct fault feature vectors.
Neural networks have good self-learning capabilities. It takes as input the fault eigenvectors constructed by wavelet packet frequency band energy parameters, and the actual fault status is used as an output, thereby further classifying the faults.
Finally, in order to characterize and fuse decision-level uncertainties, D-S evidence theory is used. Firstly, we obtain the confusion matrix by collecting the prior information and construct the recognition framework and complete the basic probability assignment. Then we use the given combination rules to fuse the evidence and finally give the decision result.
The results of the simulation verified that this diagnostic method is effective and has a better diagnostic effect.
Key Words: fault diagnosis; wavelet packet transform; rolling bearings; D-S theory

第1章 研究对象背景介绍
滚动轴承是一种通用机械零部件，它在各种机械装置中应用最为广泛，尤其是包含旋转运动的机械装置。在我所研究的课题方向，即旋转调制型捷联惯性导航系统中，旋转调制机构存在的旋转调制误差将会引起光纤陀螺仪的标校误差[[[] 孙伟. 旋转调制型捷联惯性导航系统[M]. 测绘出版社, 2014.]]。因此，滚动轴承的正常工作是整台机械装置正常工作、导航系统实现高精度导航的前提。因此，对滚动轴承状态的监测方法以及滚动轴承故障的及时诊断方法的研究与实现具有非常重要的意义。
对于滚动轴承常规的故障诊断方法大多只针对单一传感器获得的故障信息的特征分析及提取，进而判断故障的有无以及类型。这类的方法存在着结构简单、计算量小、易于实现的优点。但是，这类方法的最大缺点是故障诊断的准确率低。因此，在对与定位精度有着高要求的惯性导航领域，有必要采取新的诊断方法来实现对于滚动轴承故障更精准的诊断。
基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法则是一种可以基本满足上述要求的方法。通过对多个传感器信息的融合，系统能够有效地规避单一传感器的诸多固有缺陷。例如：滚动轴承工作环境较恶劣，单一传感器输出的结果是否可信没有判断基准；单一传感器难以全面反映滚动轴承的工作状态；单一传感器不能提供冗余度保证系统的正常工作；单一传感器难以敏感所有类型的故障。综上，多传感器的应用有利于整个系统的稳定工作。相应地，滚动轴承就要采用基于多传感器的故障诊断方法，一种朴素的方法就是对每一个局部的传感器分别进行特征分析提取，最终再进行决策，即分布式的故障诊断方法。
通过对基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法的仿真验证，可以得出结论，D-S证据理论的应用弥补了单一传感器诊断的不足，发挥了多传感器诊断的优势，有利于整套系统满足工程实践的实际需求。
第2章 小波包分析的基本原理
小波包是小波分析理论的重要组成部分，在非平稳信号特征检测和故障诊断中具有广泛的应用。由于正交小波变换采用 Mallat 算法实现，只对信号的低频部分做进一步分解，而对高频部分不再继续分解，所以小波变换仅能很好的表征以低频信息为主要成分的信号。但是在实际应用中非平稳机械振动信号、遥感图像、地震信号和生物医学信号等包含大量细节信息，正交小波变换不能很好地分解和表示细小边缘或纹理的信号。于是提出了小波包变换。
小波包变换可以对高频部分提供更精细的分解 ，而且这种分解既无冗余， 也无疏漏，所以对包含大量中、高频信息的信号能够进行更好的时频局部化分析。小波包变换在信号去噪、滤波、压缩、非平稳机械振动信号 的分析与故障诊断 、非平稳信号的特征提取及多载波调制技术等方面具有重要应用[[[] 罗永, 李建平, 成礼智,等. 小波包变换及代价函数设计综述[J]. 数学理论与应用, 2011(3):65-70.]]。
2.1 小波包变换
2.1.1 小波变换基本原理
在傅里叶变换中引入时移参数即构成短时傅里叶变换，于是短时傅里叶变换窗口位置可以通过时移参数改变，进而实现局部时频域的分析，但是它的形状大小是不能改变的。
小波变换可以看作是对短时傅里叶变换的窗口函数增加一个尺度因子，使得窗口既可以移动又可以伸缩。这个可以伸缩、平移的窗口函数叫做小波。所以，小波在处理滚动轴承振动信号时，可以方便地针对信号的某一时域或频域进行局部化分析。
小波函数中的尺度参数来改变小波窗口形状的大小，位移参数来调整位置。小波变换的基本思想就是用这样一组小波函数系去表示一个信号。小波函数系是由基本小波函数通过平移、伸缩生成的

作为一个基本小波函数，需要满足

其中，是基本小波函数的傅里叶变换。
常用的基本小波函数有：Haar小波和墨西哥帽状小波。此外还有Morlet小波、db小波、样条小波等。本文中使用的就是db小波。
2.1.2 Mallat算法
Mallat算法是由Mallat基于多尺度分解框架提出的。假设已知多尺度分析，尺度函数和小波函数分别用和表示，那么一个信号可以表示为

引入无穷矩阵，于是可以得到Mallat塔式分解算法：

其中，数列和分别为在尺度j下的近似信号和细节信号。可以近似表示待处理信号。
那么，小波分解的重构算法由下面公式给出：

重构算法实质是分解算法的逆过程，即分解进行的是小波变换过程，重构进行的小波变换的逆变换。
2.1.3 小波包分解与重构
小波分解的每一次分解过程中并没有继续分解高频的细节信号，这是小波分解的一个明显的缺点。小波包分解的出现弥补了这一缺点，它可以认为是小波分解的改进算法。如果我们将低通滤波器和高通滤波器同时作用在近似信号和细节信号上，每一层分解都同时分解低频的近似信号和高频的细节信号，这样既保留了信号的完整性又使得信号的低、高频段分辨率同时提升。经这样分解后得到的数据称为小波包（或着称其为频段），这一过程也即为小波包分解。
定义为第j层小波分解得到的第i个小波包，小波包分解算法可以表示为：

将待分解的数字信号定义为，则通过上述公式可以将信号一层层分解为一个个小波包。每个小波包代表了原始信号在不同频段上的成分，小波包的频段宽度相等且相邻，而且随着小波包分解层数的增加，频段划分的越细，对原始信号的刻画越精细。
小波包的重构是利用分解得到数据进行小波包变换的逆变换。分解后得到的小波包数据是分解系数，由这些系数重构后得到的信号是去除干扰的并且无冗余的数据。通过这些系数就可以构造出表征故障类型的特征参数向量[[[] 马位涛. 基于小波包变换和优化Elman神经网络的滚动轴承故障诊断方法研究[D]. 华中科技大学, 2016.]]。
重构公式：

综上，小波包分解比小波分解更有优势的地方在于，它在每一层分解后同时将低频高频信号分解，这样同时提高了低频和高频信息的多尺度分析能力，而且小波包分解后每一层的信息都是完整的。
2.2 故障模式的特征分析
滚动轴承振动信号的小波包分解过程实际上是一个降噪过程，例如分解到第三层时得到8个小波包（8个频段），每个小波包更直观地包含振动信号的时频域特征，可对滚动轴承进行初步地故障诊断。用小波包变换算法对滚动轴承进行故障特征参数向量的构造方法是可行的，也是十分有效的。
2.2.1 小波包分解频段能量
小波包分解后得到的各个频段对应着一个能量值，而且不同故障类型的振动信号往往各频段的能量值是不相同的，也就是说，小波包分解的得到的频段能量分布表征着滚动轴承不同的故障类型，通过检测各频段相对能量的变化可以有效地了解滚动轴承的状态。所以，可以采用小波包频段能量参数构建故障特征向量。
本文中选取四阶Daubechies小波基（在Matlab中表示为db4），它的正交性有利于滚动轴承故障数据频域的局部化分析。本文对振动信号进行3层分解，在第3层共得到8个频段（小波包）。
那么，设第3层的总能量为Total，第i个（频段）小波包重构后的能量为，则存在有如下关系

2.2.2 故障类型特征向量的构造及特征分析
不同故障类型的小波包重构系数的幅值分布是不同的，用各频段小波包重构系数幅值的平方和作为能量特征参数是可行的，而且我们用8个能量特征参数去代替杂乱的原始数据，可以有效地去除数据冗余。

(a) (b)

© (d)
图21 滚动轴承四种故障特征能量谱
从故障特征能量谱可以看出：
（1）同一状态的轴承特征向量值大小分布相似（此处未展示同一状态的其他图），不同状态的轴承特征向量大小分布有差别；
（2）正常轴承和故障轴承特征向量值分布明显不同，正常轴承的频段1、2的能量值较大，其它频段能量值较小，而故障类型的轴承恰恰相反，频段1、2能量值较小，其它频段有能量值较大情况；
（3）三种故障类型的轴承特征向量值分布类似，但大小有差别。
通过对特征向量的分析，可以对故障类型进行初步的判断，正常轴承和故障类型轴承容易区分，但三种具体故障类型的仅从特征能量值分析难度较大，效率也较低，所以本文采用神经网络进行故障的类型判别，将特征向量作为网络的输入，通过神经网络的计算来判断轴承故障的具体类型。
通过这种故障特征向量的构造方法，对后续的数据（在采样频率为12kHZ的条件下，采样点数N=4096，分别对正常，内圈故障、外圈故障、滚动体疲劳剥落故障四种工况下的滚动轴承振动信号），进行小波包分解获取提取能量值，并将各频段能量值值进行归一化处理。
随机地从每个案例中提取10组故障特征向量，组成400条的故障特征向量集，用于下一章构建训练样本集和测试样本集。
第3章 神经网络的基本原理
3.1 神经网络的发展简介
1943年，法国心理学家W.S.McCuloch和数学家W.Pitts在美国《数学生物物理学简报》上发表了题为“神经行为中内在思想的逻辑运算”的论文，文中首次提出了模拟生物神经元的人工神经元模型（M-P模型），标志着人类自然科学技术史上的一门新的学科——人工神经网络（Artificial Neural Network, ANN）的诞生[[[] 张泽旭. 神经网络控制与MATLAB仿真[M]. 哈尔滨工业大学出版社, 2011.]]。
1986年由Rumelhart等人提出的BP神经网络，因为其简单的结构、良好的学习能力，时至今日仍然是最普及和最广泛应用的神经网络。Rumelhart在发表于Nature的学术论文Learning Representations of Back-Propagation Errors 《反向传播误差的学习描述》的BP算法已经成为最通用的多层感知器的学习算法。正是因为BP算法的影响非常广泛，以至于在讨论采用了BP算法的多层感知器或多层前馈网络时，常常把它们称为BP神经网络。
BP神经网络具有较好的自学习、自适应、鲁棒性和泛化性，广泛地被运用到各个方面，如故障诊断、模式识别、函数逼近和图像处理等。
3.2 BP神经网络的基本理论
3.2.1 BP神经网络的结构
图31表示一个具有隐含层的BP神经网络结构图。BP神经网络具有两个特点：一是网络为全连接，即在任意层上的一个神经元与它之前的层上的所有节点/神经元都连接起来；二是网络至少有一个隐含层，信号从左到右一层接一层向前逐步流过，是一个多层前馈网络。
在BP神经网络中，存在着两种信号：函数信号和误差信号。这两种信号分别体现在正向和反向传播过程中。一个函数信号就是从网络输入层的末端而来的一个输入信号（刺激），它通过每一层网络的神经元向前传播，到达网络的输出层的末端即成为一个输出信号。一个误差信号产生于网络的一个输出神经元，并沿着原来的连接通道一层接一层地反向传播。
3.2.2 反向传播算法的本质
BP算法采用均方误差作为代价函数，即每输入一个样本，便将网络的实际输出与期望输出做比较，算法将调整网络参数以使得均方误差最小。下面介绍BP算法的一般性公式。
在开始介绍公式之前，我们定义表示BP神经网络的第层节点数，其中。
从图32，可以得到n时刻神经元j输出的函数信号为

式中，由前一层神经网络的输出加权得到，具体表达式为

那么，输出误差信号定义为

其中，表示期望的输出相应。我们将误差信号的平方和作为代价函数，期望它取得最小值，并据此来调整权重。

根据隐含神经元j的局部梯度值公式

神经元j的权值调整的迭代修正公式易求

3.2.3 BP神经网络的停止准则
准则1：当梯度向量的欧式范数达到一个充分小的梯度阈值时，认为反向传播算法已经收敛。
准则2：当每个回合的均方差变化绝对速率足够小时，认为反向传播算法已经收敛。
3.3 BP神经网络的Matlab实现
随着BP神经网络应用范围的扩大，学者们也发现其存在着不足。如固定的学习率或学习过程中出现的瘫痪现象会导致训练时间较长；采用了基于误差和性能指标函数不断减小的标准梯度下降法，易导致局部极小值；隐层和隐层神经元个数难以确定[[[] 鲁娟娟, 陈红. BP神经网络的研究进展[J]. 控制工程, 2006, 13(5):449-451.]]。因此，为了更好地使用BP神经网络，避免上述问题的出现，节点数目、激活函数和学习率的恰当选取至关重要。
3.3.1 隐含层与隐含节点
考虑到适中的计算复杂度和不至于过长的仿真时间，选择一个合理的隐含层结构至关重要。根据隐含层节点数的经验公式，即有。然后，采用逐步试探隐含层节点的个数，发现节点数增加性能变化不大，所以本文采用相对较少的隐含节点数18。
3.3.2 激活函数的确定
在BP神经网络的学习中，需要计算每个神经元的激活函数的导数，这就要求激活函数必须满足连续可微的条件。这里仅介绍本文中使用的一种激活函数——双曲正切S形函数。

在Matlab中，双曲正切S形函数的符号为“tansig”。
3.3.3 学习率参数
学习率决定了每一次训练中所引起的权值的变化量。大的学习率可能导致系统的不稳定，但是小的学习率会导致较长的学习时间，收敛很慢。根据经验，学习率的选取一般在之间比较合适，且对于越复杂的神经网络系统，倾向于选取小的学习率以保证系统的稳定。
在Matlab中，学习率参数通过给神经网络结构体变量赋值实现。
第4章 D-S证据理论的基本原理
Dempster-Shafer证据理论（DST）的基本框架是由Dempster在1967年首先建立的，他利用多值映射推导出事件的上下概率，并用其建模各类信息。随后，Shafer进一步完善了Dempster提出的框架结构，建立了命题和集合之间的一一对应关系，把命题的不确定性问题转化为集合的不确定性问题，形成了证据推导的数学理论，简称证据理论。此外，证据理论中定义的置信函数和似然函数，对信息的非精确和狭义不确定等认知方面的表示、度量、和处理比概率论更加灵活、有效[[[] 文成林, 徐晓滨. 多源不确定信息融合理论及应用[M]. 科学出版社, 2012.]]。
因此，证据理论作为一种不确定性推理方法，为决策级不确定信息的表征与融合提供了强有力的工具，在信息融合、模式识别和决策分析等领域得到了广泛应用[[[] 韩德强, 杨艺, 韩崇昭. DS证据理论研究进展及相关问题探讨[J]. 控制与决策, 2014, 29(1):1-11.]]。
本文中，针对仅利用单一传感器进行故障诊断的诸多固有缺陷，如：单一传感器难以全面反映滚动轴承的工作状态；单一传感器不能提供冗余度保证系统的正常工作；单一传感器难以敏感所有类型的故障等，提出基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法，提高故障诊断率。下面先对D-S证据理论做简要的介绍。
4.1 D-S证据理论
4.1.1 几个基本定义
首先，定义mass函数：在识别框架下，如果映射m：满足

则称其为定义在上的mass函数。集函数即对子集本身赋予的置信度。
然后，定义置信函数：如果映射满足

则称其为定义在上置信函数。集函数表示对子集及其全部子集赋予了置信度。为的所有子集可能性度量之和，表示了对的信任。
4.1.2 Dempster组合规则
D-S证据理论的组合规则解决了，已知n个相互独立的基本概率赋值（本文中有三个传感器，故n=3），确定组合之后的基本概率赋值的大小。
假设，是同一个识别框架下的3个信任函数，分别为其对应的基本概率赋值，那么为：

其中，符号表示Dempster组合规则；为规范化因子，由下式定义：

在产生组合后的质量函数之后，就可以进一步得到相应的置信函数和似然函数，从而得到组合后的置信区间，完成证据的推理
4.1.3 决策准则
为了根据Dempster组合得到的mass函数判断哪个集合是最可能的决策结果，一般有两种决策准则。这里采用一种基于mass函数的方法。
若，则为判决结果。
这样，需要解决的问题就是，取合理的基本概率分配函数。
4.2 基于神经网络分类可信度的基本概率分配函数的构造
结合BP神经网络的介绍我们知道，滚动轴承的四种状态分别对应了BP神经网络输出的四个标准特征向量。但是，对于某一个传感器（例如，驱动端DE传感器）而言，它的输出通过训练好的神经网络（其对应的神经网络为net_DE）之后得到的故障分类的准确率是与故障的类型有关的。换句话说，某一个传感器对于不同的故障类型有不同的敏感程度。在后续仿真实验中，故障准确率的统计证实了这个观点。
根据上述特点，为了实现多传感器信息的有效融合，构造可以反应客观现实的基本概率分配函数，采用了如下方法。
假设需诊断的测试样本集D包括T个（本文中T=400）样本，其中含有N个（N=4）故障状态，每个故障状态的样本数分别为。于是经过准确率统计之后可以得到混淆矩阵CM（Confusion Matrix）。

其中，下标的3个不同取值分别对应了3个神经网络；混淆矩阵中元素的行下标为测试样本的真实故障状态，列下标为经神经网络分类识别后产生的识别状态。故表示真实故障状态为第i类的测试样本被神经网络分类判断为第j类故障状态的样本个数与真实故障状态为第i类的测试样本总数的比值；对角线元素为各故障状态能够被神经网络正确分类的百分比。所以，混淆矩阵反映神经网络对不同故障状态的分类能力[[[] 俞昆, 谭继文, 李善. 基于多传感器信息融合的滚动轴承故障诊断研究[J]. 仪表技术与传感器, 2016(7):97-102.]]。
为了衡量这种分类能力不确定性，确定各对诊断结果的贡献率，下面给出具体的神经网络可信度估计公式。
根据混淆矩阵可知真实故障状态为第i类的测试样本被神经网络分类到第j类的概率为

所以神经网络识别出第j种故障状态的局部可信度为

而神经网络的全局可信度将由下式给出：

以上即为所需的先验统计信息，在得到之后，对于某一次神经网络的输出结果，那么我们给出的基本概率赋值将由和给出：

其中，识别框架为；为滚动轴承的第j种故障状态。
第5章 仿真实验
5.1 数据的介绍
在本课程实践中，40个案例数据文件是从西储大学轴承研究中心的官网上获得的滚动轴承故障测试数据，其中正常案例4个，内圈故障案例12个，滚动体故障案例12个，外圈故障案例12个。
数据从由一个2hp电机（左），一个扭矩传感器/编码器（中心），一个测力计（右）和控制电子设备（未显示）组成的测试台获得。待测试滚动轴承支撑着电机转轴。在理论研究阶段采用故障模拟的方式去构建故障案例库。故障模拟是人为地在滚动轴承内圈、外圈、滚动体等不同位置制造出疲劳剥落故障的试验方法。待测试轴承的故障是用人工模拟的方法引入的，即采用电火花加工技术在轴承上加工出直径为7mils，14mils，21mils，28mils和40mils（1mil= 0.001inches）的故障。
实验中的振动数据采集传感器采用的是加速度计，其安装的位置为具有磁性基座的壳体。在大部分实验数据中，使用了两个加速度计，分别放置在了电机壳体的驱动端和风扇端的12点钟位置。在一些实验中，第三个加速度计安装在了电机支撑底板上。系统使用16通道DAT记录仪收集振动信号，每秒收集12,000个采样点，并在Matlab环境中进行后处理，所有的数据文件都是Matlab（* .mat）格式。所有文件中变量名的含义如下：DE表示由驱动端加速计测得的数据；FE表示由风扇端加速度计测得的数据；BA表示由基座加速度计测得的数据；Time时间序列数据；rpm测试期间的转速。其中，转速和马力的数据是手动记录的。
这些案例既包含了轴承模拟故障的四种状态，又包含有轴承故障不同剥落半径，和外圈故障的不同位置。每个案例包含十几万条振动数据，这些数据是在轴转速1700rpm左右，采样频率为12kHz，负载0~3hp的工况下采集的原始数据。
在官网获得这些数据之后，从每个数据文件中为每个传感器提取出400个样本，用于后续的算法仿真实验分析。
5.2 数据的预处理
从原始数据中提取400个样本的任务由ReadFileD.m脚本程序实现，样本保存在SampleData_DE.mat、SampleData_FE.mat和SampleData_BA.mat文件中，分别对应了3个传感器。（另外，重复同样的步骤制作SampleData_DE2.mat、SampleData_FE2.mat和SampleData_BA2.mat用于先验信息的统计）。
5.3 故障诊断策略的流程图及实现
如图51所示，为了实现准确率更高的故障诊断，不仅仅利用了小波分析提取信号特征以及神经网络实现分类的能力，还使用了D-S证据理论来融合多个传感器的信息最终做出决策的方案。
下面具体介绍每一个步骤：
步骤一：首先，使用小波包变换算法将振动信号进行多层小波包变换（每一次得到一系列宽度相同的频段）；然后对各个频段提取能量值构造出表征故障类型的特征参数向量（不同的故障类型对应的特征向量值的分布是不同的）；最后用这些向量和故障编码组成训练以及测试样本集。
步骤二：利用神经网络实现滚动轴承故障类型的判别。
表51 滚动轴承故障编码
故障类别 故障编码
正常 1 0 0 0
滚动体故障 0 1 0 0
内圈故障 0 0 1 0
外圈故障 0 0 0 1
将步骤一中得到的滚动轴承故障特征向量集（共400条特征向量）与故障编码结合，然后选择其中90%构建训练样本集（共360条），剩余10%构建测试样本集。部分如下表所示：
表52 神经网络输入输出关系
序号 训练输入 输
出
频段1 频段2 频段3 频段4 频段5 频段6 频段7 频段8
1 0.8516 0.1240 0.0024 0.0203 1.9709 0.0002 0.0003 0.0008 1000
2 0.3666 0.0217 0.2148 0.0124 0.0005 0.0016 0.3647 0.0178 0100
3 0.0679 0.1036 0.2719 0.0972 0.0015 0.0074 0.3819 0.0685 0010
4 0.0070 0.0035 0.3685 0.0123 0.0029 0.0046 0.5661 0.0351 0001
训练过程中神经网络的收敛情况如下图所示：

步骤三：统计先验信息。使用已经训练好的BP神经网络，判断保存在SampleData_DE2.mat、SampleData_FE2.mat和SampleData_BA2.mat三个文件中的故障特征向量，得出统计结果。如下图表所示：

另有神经网络net_BA统计样本分类图，此处不再展示，仅将统计数据汇集成表格形式展示。表格中的全局可信度是指故障被准确识别的样本数占总样本数的比例；局部可信度则由混淆矩阵求出。
通过分析可以看出，net_DE的分类结果的可信度较低，net_FE的分类结果可信度较高。但单就滚动体故障而言，net_DE的分类结果最值得被信任
表53 混淆矩阵CM_DE及局部可信度
CM_DE 分类结果
1 2 3 4
真实状态 1 1 0 0 0
2 0.0500 0.9250 0.0167 0.0083
3 0.0083 0.0417 0.8333 0.1167
4 0.0667 0.1000 0.1333 0.7000
局部可信度 0.8889 0.8672 0.8475 0.8485
表54 混淆矩阵CM_FE及局部可信度
CM_FE 分类结果
1 2 3 4
真实状态 1 0.9250 0.0750 0 0
2 0 0.9750 0.0167 0.0083
3 0 0.0833 0.9167 0
4 0 0.0833 0 0.9167
局部可信度 1 0.8014 0.9821 0.9910
表55 混淆矩阵CM_BA及局部可信度
CM_BA 分类结果
1 2 3 4
真实状态 1 1 0 0 0
2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 0 0.3333 0 0.6667
局部可信度 1 0.7500 1 1

表56 神经网络分类可信度
神经网络 全局可信度
正常状态
滚动体故障
内圈故障
外圈故障

net_DE 0.8646 0.8889 0.8672 0.8475 0.8485
net_FE 0.9333 1 0.8014 0.9821 0.9910
net_BA 0.9167 1 0.7500 1 1
5.4 仿真的结果图及分析
5.4.1 准确率分析
根据表56的可信度构建D-S证据理论的识别框架，然后根据D-S组合规则的公式和可以得到最终的诊断结果。为了直观，做出分类结果图：

表57 基本概率分配函数赋值及信息融合记录
序号 模式 证据 结果
33 外圈故障 net_DE 0.4488 0.0392 0.2362 0.1404 0.1354
net_FE 0.0622 0.0346 0.0701 0.7664 0.0667
net_BA 0.0490 0.4812 0.1390 0.2475 0.0833
DS 0.0877 0.0879 0.1005 0.7168 0.0072
为了进一步说明D-S证据理论提高故障诊断率的有效性，从神经网络net_DE识别错误的3组测试样本中选取1组记录进行说明，如表57所示。
最终，仿真实验的结果说明：基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法和单一传感器的故障诊断方法相比，故障的识别准确率由达到97.5%，提高了2.5%，因此这种方法是有实际效果的。
5.4.2 计算复杂度及实时性分析
故障诊断的准确度是评价故障诊断方法的一个方面。一个切实可用的故障诊断算法还有另外一个要求，那就是实时性。
相比较于实用的基于单一传感器的小波变换和神经网络构成的故障诊断方法，就流程图中三大环节分别进行对比分析：
首先，在传感器的特征提取以及初步辨识阶段：本方法虽然需要分别对三个传感器的数据进行处理，计算复杂度至少变为原来的三倍，但是却可以并行计算，并不增加诊断时间。
其次，在统计先验信息、确定识别框架阶段：这些工作是在诊断开始之前进行的，虽然需要处理大量的数据以获得统计信息，但是与诊断时间无关。
最后，D-S证据理论融合决策阶段：这一步是完成故障诊断的最后一步，但是它的计算复杂度相比于小波包分解并不高，只需要完成29次乘运算及4次加运算，对于现在的处理器来说计算时间几乎可以忽略不计。
综上，基于小波包神经网络和D-S理论的滚动轴承故障诊断方法，能够提高故障诊断准确率并且具备实时诊断的能力。