数字图像处理与Python实现-快速傅立叶变换(FFT)实现图像快速卷积
快速傅立叶变换（FFT）可以用于实现图像快速卷积。傅立叶变换具有卷积性质，因此可以利用这一特性来处理数据卷积。通过FFT，可以将卷积操作转换为频域中的乘法操作，从而提高计算效率。具体步骤包括：对图像和卷积核进行FFT变换，进行点乘运算，然后进行逆FFT变换得到卷积结果。代码实现中，使用了numpy和scipy库，通过FFT和逆FFT实现卷积操作，并与直接的卷积方法进行了对比，结果表明FFT方法与直接卷积方法得到的结果一致。
快速傅立叶变换(FFT)实现图像快速卷积
快速傅立叶变换(FFT)用于图像的快速卷积运算。
- 引言
- 傅立叶卷积性质的数学表示
- 代码实现
1. 前言
傅立叶变换具有卷积性质，这使得我们可以利用傅立叶变换来实现数据卷积处理。对于图像的傅立叶变换，可以参考此处：数字图像处理与Python实现-图像变换-傅立叶变换。
2. 傅立叶卷积性质数学表示
如果f(x)和g(x)为时域空间的一维函数；f(x,y)和g(x,y)为空间域的二维函数，那么，定义如下运算为卷积运算：
f(x) * g(x) = \int_{−∞}^{+∞}{f(α)g(x−α)}dα
在式中，*符号代表卷积运算。由此可得，傅里叶变换的卷积定理为：f(x,y)*g(x,y) \iff F(u,v) \cdot G(u,v)。
f(x,y) \cdot g(x,u) \iff F(u,v) * G(u,v)
式中，F(u,v)和G(u,v)分别是f(x,y)和g(x,y)的傅立叶变换。
在数字信号处理领域中，傅立叶变换主要依赖于快速傅里叶变换(FFT)算法这一技术实现。其伪表达式可以表示为：R = ifft(fft(A) .* fft(B))，其中，fft代表快速傅里叶变换，ifft代表快速傅里叶变换的反变换，.*表示点运算。A和B是维度一致的输入数据，其中A为性格处理的输入数据，B为卷积核。
3. 代码实现
import numpy as np
from scipy import signal
# 设置打印格式，默认是科学计数格式
np.set_printoptions(suppress=True)
# 创建二维矩阵
array_a = np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
array_b = np.ones((3,3),dtype=array_a.dtype)
# 扩充成8x8大小，一般填充成2^N大小
array_c = np.zeros((8,8))
array_d = np.zeros((8,8))
# 原矩阵填充
array_c[0:3,0:3] = array_a
array_d[0:3,0:3] = array_b
result = np.fft.ifft2(np.multiply(np.fft.fft2(array_c),np.fft.fft2(array_d)))
# result = np.fft.ifft2(np.fft.fft2(array_c)*np.fft.fft2(array_d))
print('result use fft convolution:')
print(np.real(result)[0:3,0:3])
# 使用边界处理默认方式
result2 = signal.convolve2d(array_a,array_b);
print('result use convolve2d:')
print(result2[0:3,0:3])程序运行结果如下：
由此可见，使用FFT方式实现卷积与convolve2d的结果完全一致。