傅里叶变换性质证明卷积_积分变换（3）——傅里叶变换的性质
学习阶段：大学数学，积分变换。
前置知识：微积分、复变函数、傅里叶变换
tetradecane：积分变换（2）——连续傅里叶变换zhuanlan.zhihu.com
我们来探讨一下傅里叶变换所具有的若干实用特性。这些特性均可通过傅里叶变换的基本定义进行推导，并且在教材中能找到相关解释。我打算采取一种更加直观且深入本质的方法来探讨这些问题。
1. 线性性
设
，
为常数，则
其本质是将不同频率的周期函数（频域）通过线性组合来表征原函数（时域），必然是一个线性的特性。这与积分运算的线性特性一致。
线性性质可用图1来概括。先变换再求和，与先求和再变换，结果是一致的。
图1 线性性质概括
2. 位移性
设
，
为常数，则
把时域的函数向右平移了
，相当于时间起点改到了
，那么频域的相位也要相应地退回。分量
在时刻
的值
的值作为起点，因此
乘上了该量。
把频域的函数向右平移了
，相当于把每个分量
的频率都减慢为了
，那么时间自然要加快以弥补这个变化。对分量
补乘上
，就能还原回原来的频率，因此
乘上了该量。
3. 放缩/相似性
设
，
为非零常实数，则
取
，那么
. 取
，则
，显然是将每个分量的频率都加快为了原来的两倍。为了抵消这个变化，让
除以2，但同时分量的系数也成比例变了，如图2所示：
图2 系数成比例变化
除以
，会让分量
变为
的同时，其系数也变为了
倍。因此，最终
要再除以
.
对于上述例子，利用
函数的放缩性，易得
4. 对称性
设
，则
对圆周运动的典型分量
做两次变换观察一下，如图3所示：
图3 e^(it)做两次傅氏变换
首先对
进行各种频率的反向旋转，
时平均为0，
时叠加出无穷大，得到
，这是第一次变换。再对
做第二次变换，变换的结果是把每个频率的起点都改为
，最终
时平均为0，
时叠加出无穷大，正好时域上构成一冲激强度为
冲击函数的一种表示形式为\delta(t)。在频域中出现的脉冲现象对应于时域中的周期性分布，在时间上均匀重复的现象称为周期信号；反之，在时域中出现的脉冲现象则会在频域中呈现周期性分布特征。这种相互对应的特性共同构建了系统的对称性
实际上，函数
既可以用一系列圆周函数
线性表示为
，又可以用一系列冲激函数
线性表示为
，这是两种非常重要的思想。傅氏变换会把圆周
变为脉冲，脉冲翻转后变为圆周，因此具有
的关系。大致示意图如图4所示：
图4 对称性示意图
5. 微分关系
设
，只要相关的导数存在，则
对于复值函数
，
注
求导会让起点逆时针旋转
并伸缩至
倍，但不改变频率，如图5所示：
图5 对e^(iωt)求导
根据求导公式也容易直接写出
对t的n阶导数是
.
因此
对t求n阶导时，频谱只需要简单地把每个分量
乘上
，即
乘上
.
对
求导时，考虑将
分解为冲激函数，且时域的
分量对应频域的
分量。
对
求n阶导数得到
，那么
的每个分量
也只需要简单地乘上
即可。
只会在
时影响到整体的值，故求和之后得到的是
.
6. 积分关系
设
，则
这与微分关系是一致的，取
即可。
由于
，这个任意常数
会在频谱中带来一个冲激函数
，而
时
无意义，因此这个公式不考虑
的情况。
7. 帕萨瓦尔（Parseval）定理
设
，则
这个定理充分体现了
这些基底在
内积下的正交性。
中的一个分量
分别乘以
中的每一个分量
并对
做积分，在
时积分结果为0，在
时积分结果为1. 也就是说，两个函数只有频率相同的分量的系数才会相乘。
中分量
的系数近似为
，同理
中
的系数近似为
，那么两者乘积的
的系数即可近似为
. 如图6所示：
图6 对应点系数相乘
因为
算的是
，那么
中
分量算出的是
，最后把所有
求和并取极限即可得到帕萨瓦尔定理。
特别地，若取
，则可得到
8. 卷积与卷积定理
8.1 卷积
冲激函数的筛选性质
非常重要，我们称这个运算是
与
的卷积。一般地，定义
与
的
卷积 （convolution）为
视第二个函数为冲激函数的线性组合，即
，那么它的
分量的系数可近似为
，而
与
卷积得到
，相当于把
向右平移了
个单位。因此，卷积的含义是：
的起点平移到
处，就把函数值放缩为原来的
倍。对于任意的
，把所有这些平移且放缩过的
函数叠加的结果。如图7所示：
图7 卷积的示意图
概括来说，卷积就是
的滑动加权和，权重由
决定。
同时，如果只考虑
的一个冲激函数分量，则在卷积中会生成一个滑动加权的
，且由
控制。也就是说，卷积具有
交换律 。如图8所示：
图8 卷积交换律的示意图
实际上，卷积还满足结合律和分配律，这里不再详述。
8.2 时域卷积定理
若
，则
按照8.1节对卷积的理解，将
拆成各种
分量，且系数近似为
. 那么
在处理单个分量时, 卷积等同于通过位移并赋予权重。根据第2节所述的位移特性, 可以推导出频谱函数将转换为
，对
求和就得到了
.
8.3 频域卷积定理
若
，则
这里我们把
拆成各种
的分量，且系数近似为
. 那么
在每个分量上进行卷积运算，在时域中转换为通过平移并赋予权重的方式。由第2节所述的位移性质可知，在频域中该时域函数将转换为相应的形式。
，对
求和就得到了
.