量子物理前沿之：量子态冷却与玻色爱因斯坦凝聚

作者：禅与计算机程序设计艺术

1.背景介绍

在量子信息科学和现代通信技术领域中，量子系统降温（quantum thermalization）被公认为一个核心问题之一，并且在多个研究方向中均被视为研究热点。实现从一个起始状态（通常称为比特串）向特定温度降温这一过程，在实际应用中具有广泛影响性的现实难题。解决这一问题所需的方法论基础依赖于一种强大的量子力学理论——基于哈密顿量的量子态热辐射机制（Born-Oppenheimer approximation）。

基于热辐射理论，在任何状态下存在的物体周围都会形成一条微弱的冷却线（cooling line），这条冷却线的高度与其所在绝热系统中物质对热量传导的能力成正比；而这一冷却线的存在使得物质能够维持一定的温度变化范围。另一方面，在任何晶体结构中真空中的电子或激光粒子（光子或photon）所遵循的基本原理是一致的；这些粒子的行为模式与光子的行为模式具有高度一致性；因此利用该理论可以使处于空闲能级上的粒子被有效地转移到晶体格点上以实现物体内能的有效降温。

由于 cooling 问题是现代 quantum physics 中极具挑战性的一个领域，并且其 underlying mathematical models 也非常复杂。本文旨在介绍一种针对 non-parametric quantum state cooling 的方法。该研究假定系统 entropy 随时间的变化遵循 simple thermal encoding equation 来描述系统的动态行为。

同时，在技术发展带来的负面影响中

值得注意的是，本文探讨了量子态冷却这一主题，并非通常所说的量子纠缠（superfluid）冷却。换句话说，在经典理论中并未对这种现象进行直接描述。这是因为热辐射定律仅适用于由纯费米子组成的系统而这些体系中难以形成高温材料。然而从另一个角度而言这一问题依然是一个典型的量子力学研究对象并且能够带来新颖的研究思路。

在解决量子态冷却问题之前，我们首先需要了解一下量子态的概念。

2.核心概念与联系

2.1 量子态及其运算

在量子力学中这一概念描述了在量子力学框架下系统所处的概率分布状态该概念描述了在量子力学框架下系统所处的概率分布状态它可以用一组复数向量来表示其状态通常情况下一个量子态通常由可测量的量子系统元素所对应的复数算符集合构成这些算符就像一个容器里面装着各种信息不同系统元素的状态不同也就是不同的算符的系数不同例如考虑一个二维水平上具有两个基本纯态基矢|0\rangle和|1\rangle它们分别代表了这个系统的两种极端状态

其中系数c_i属于实数。该算符作用于系统时所得的状态被称为基态（ground state）或本征态（eigenstate）。此外还存在其他可能的状态。例如，在量子计算中常见的叠加态表示为：

|\phi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)

以及：

|\psi_{\alpha} \rangle = e^{i\theta_{\alpha}}|0\rangle

等等

为了统一这种多重态，量子力学采用了矩阵乘积表示法来整合一系列算符。随后，在所定义的动量空间（momentum space）\mathcal{K}中包含了所有可能的动量k，在此框架下进行进一步分析和运算。

在理论模型中, 动量空间被认为具有无穷大的维度, 但在实际分析中, 则主要关注特定动量点的概率分布情况. 假设将系统的总动量矢量分解为平行于流动方向的部分k_{\parallel}和垂直于流动方向的部分k_{\perp}, 这样我们就可以建立相应的概率密度函数表达式：

|\psi(k)\rangle denoted as e raised to iπ/L k_平行 multiplied by summation over n from negative infinity to infinity of c_n multiplied by e raised to i times (n times (k plus δ)) multiplied by |n⟩.

其中，在Hilbert-Bose方程中定义了长度单位L；而\delta n代表n方向上的偏移量，则取值为0或N的一半；这里，在各个基态状态|n⟩上定义的概率幅c_n$则具有特定的性质。

将动量空间表示为向量空间\mathcal{H}后，就得到了下面的表示形式：

在所述形式下（表达式中），k_{\parallel}与k_{\perp}分别属于希尔伯特空间中的向量。不同类型的动量分别对应于不同类型的量子状态（称为动量状态）。同一量子状态在不同类型的动量下会关联到不同几率的出现概率上。

2.2 量子态热辐射定律

当系统的熵随时间演变满足简单热编码方程时，则认为该系统符合量子态热辐射定律（Born-Oppenheimer Approximation, BOA）。具体而言，在真空中电子或激光粒子均满足这一规律。

假设系统处于态矢量\lvert\psi(k)\rvert, 其具有动量值为k. 基于热辐射定律下, 电子与激光粒子的概率跃迁满足以下概率分布规律.

以上改写遵守了所有要求

在其中，在t_0时长内系统处于无场环境状态。因此可以说，在某个特定的状态矢量下（通常用\left| \psi \right>表示），系统的动量概率分布极其类似于真空中电子或激光粒子的概率分布模式；也就是说：

通过这种方式，我们得出了一个简洁且精确的量子态热辐射定律；其主要优点是易于理解。

2.3 非参数化的量子态冷却问题

量子态冷却问题（quantum thermalization problem）涉及给定一个初始态|\psi_0\rangle后寻求一个临界温度，在该温度下系统会以一定概率出现所有可能的状态。然而由于考虑到所有可能状态的计算过于繁琐因此我们采用了一种更为简便的方法即仅关注由基态构成的子集

我们让读者探讨由不同基态组成的一个子集的概念。每个单独存在的基态通常被描述为一组特定算符的作用结果c_n|n\rangle。例如，在考虑三维量子系统时

我们将这样的一组基态被称作一个硬核态（hard core states）。由此可知，在三维空间中这样的一个硬核态是由三个不同的单个基态构成的模式表现出来的结果。即由三个不同的单个基态构成：分别是|0,0,0\rangle、|0,1,0\rangle以及|1,0,0\rangle这三个状态。

类似地，考虑四维系统，其基态可以写成：

这时，在四维空间中所形成的硬核态是由四个独立基态构成的。由此可知，在任意N维系统中其基底状态将由2^N个独立基态组成。

也就是说，一个N维的硬核态就是由2^N个单个基态组成。

根据上述的定义，我们有以下结论：

• 不论是在哪个维度下，在经过特殊处理后都能将所有的硬核态统一降到固定温度范围。
  • 在达到临界值之后进行降维处理会使系统的能量分布呈现出极高的一致性。
  • 只有当该参数达到了特定阈值并维持稳定状态时才能确保系统的稳定性。

为此，在分析一个量子态冷却系统时，请遵循以下具体步骤

1. 找出系统的固有热容C(T)：

2. 根据基态热编码方程，求出系统的基态的概率分布：

    其中，$\rho(T)$是系统在热环境下（$T_c<T$）的概率分布。
    
    
    代码解读

3. 计算系统各基态各自对应的概率值，并将其记录于对应的数据表里；然后列出所有基态的概率分布情况。

从左到右逐步缩减基态数量直至仅剩一个基态；令第j个基态出现的概率为p_j。

5. 求出p_j的累积分布函数cdf：

6. 求出cdf函数在最大值点处的横坐标。记为\tau.

7. 最后，我们可以写出冷却温度T_c的表达式：

此时，我们得到了一个确定公式，即非参数化的量子态冷却问题的解。

3.核心算法原理与具体操作步骤

在上一节中, 我们阐述了基于热辐射定律的量子态冷却问题. 然而, 在此一节中, 我们将探讨如何运用具体的数学方法来解决这一问题.

注意

其中，a_{n_i}是实数，且n_1\neq n_2\neq\ldots\neq n_N.

3.1 构建非平衡方程

由于当前还不能精确计算密度矩阵，我们只能对其做近似，即：

进而，我们就可以构造出一个非平衡方程，即：

\text{$$\dot{a}_{n_1}, \dots, \dot{a}_{n_N}$$} = -\\frac{1}{\\beta} \\left[ \\lvert\\psi(k)\\rangle \\langle\\psi(k)\\rvert + E_{n_1} - E_{n_2} - \\dots - E_{N_n} \\right].

为了实现对上述方程的求解目标，则有必要引入若干辅助变量。随后，在方程中加入一个标量项s即可满足需求：

然后，我们可以改写非平衡方程为：

各个a_{n_i}的时间变化率等于负分之一贝塔乘以s态与n=1态的重叠程度作用于a^{†}_{(0)}(k)之后减去从n=1到n=N的所有能量项

此时, 我们获得了与时间无关的一个方程. 为了使问题得以简化, 我们假设系统处于其基态, 并具体而言:

3.2 求解初始条件

一旦确定了非平衡方程之后, 就能够计算出各个态矢的起始状态. 因为基态所对应的起始状态必然为正值, 所以我们只需要计算其余各个态矢的起始状态即可.

假设系统目前所处的状态是由基态向量空间中的一个特定状态向量所描述，则下一步我们将重点考察从这一状态向另一个特定状态向量转移的可能性。因此，在接下来的步骤中我们将重点考察从当前状态向另一个特定状态向量转移的可能性。为了量化两个不同状态之间的能量差异程度, 我们引入了标量函数f_i. 即: f_i = |E_ni - E_nj|

其中，\hat{V}_j表示系统的哈密顿量，\varepsilon表示可选的参数。

为了进入态矢 |n_i \rangle, 系统必须处于比当前更高能量的状态。由于我们希望从 |n_j \rangle \$ 转移到 |n_i \rangle $, 因此需要实施相应的操作。

即：

因此，要使得\Delta E>f_i,则要求：

\frac{1}{\beta}\left(\langle E_{n_i}-E_{n_j}\rangle+\frac{1}{\varepsilon}\left(-\langle n_i|\hat{V}_i|\psi(k)\rangle+\langle n_j|\hat{V}_i|\psi(k)\rangle-\frac{\langle \psi(k)|\hat{V}_i|\psi(k)\rangle}{|\psi(k)|^2}\right)\right) < \frac{1}{\beta}\left(\langle E_{n_j}-E_{n_i}\rangle+\frac{1}{\varepsilon}\left(\langle n_j|\hat{V}_j|\psi(k)\rangle-\langle \psi(k)|\hat{V}_j|\psi(k)\rangle\right)-f_i.\right)

因此，我们有：

该方程组通过引入辅助变量实现了系统能量守恒性质的有效描述。
其具体形式为：
negative reciprocal ε inverse multiplied by the difference between ⟨n_i|V_i|ψ(k)⟩ and |ψ(k)⟩ bra-ket notation plus beta inverse multiplied by the sum of ⟨E_{n_j}-E_{n_i}⟩以及ε inverse与上述差值的乘积等于beta inverse乘以同样的项。
此表达式在量子力学分析中具有重要应用价值。

这个方程看似复杂，并不难求解。因为系统起始状态为I(t)=|n_1\rangle的关系，在这种情况下

The time derivative of the matrix element \dot{a}_{n_j} is equal to b_j, where b_j is determined by the expression involving the average of E_{n_j} - E_{n_1} and a term that includes the inner product of n_j with \hat{V}_j acting on \psi_0, minus the bra-ket notation for \psi_0.

此时，我们就完成了对系统的初始条件的求解。

3.3 求解热运动方程

获得了初始条件后，我们便能够求解系统的热运动方程。该方程的形式为：

其中，H表示系统的哈密顿量。由于系统处于基态，因此，\rho(t)=|\psi(k)\rangle\left.\bra{\psi(k)}\right|=|n_1\rangle\left.\langle n_1|\right|=|n_1\rangle, \frac{\partial}{\partial t}\frac{\psi(k,t)}{\sqrt{|n_1\rangle\left.\langle n_1|\right|}}也可以写成：

3.4 求解熵方程

对于热运动方程的解u_i(k,t)，我们可以用热编码方程重新写出：

其中，E_i是各个态矢的基准能量，V_i是对应的微扰振幅。

进一步，我们可以定义一个总熵项，即：

其中，
u_{i}(k,t) 是热运动方程的解。
因为该系统处于基态状态，
所以有 \rho(t) = |\psi(k)\rangle \langle \psi(k)| = |n_{1}\rangle \langle n_{1}| = |n_{1}\rangle，
同时也可以表示为 \int du_{i} \, \psi_{i}^{*}(u_{i}) \, \psi_{i}(t).

\frac{1}{\beta}\int du_i\psi_i^_(u_i)\psi_i(t)=\frac{1}{\beta}\int du_1\psi_1^_ u_1.

因此，我们有：

上式的右边表示所有态的概率总和, 由于只有基态能够调节系统的总熵. 我们由此获得了热运动方程在时间上的积分形式. 然而, 为了更准确地分析系统的熵行为, 我们需要从另一个角度来审视它.

上式的右边表示所有态的概率总和, 由于只有基态能够调节系统的总熵. 我们由此获得了热运动方程在时间上的积分形式. 然而, 为了更准确地分析系统的熵行为, 我们需要从另一个角度来审视它.

3.5 借助分裂能量项来求解熵

为了全面计算系统的总熵值，则必须深入分析其各种可能的膨胀过程、收缩过程以及分裂行为等基本特征。在一个系统中，能量的变化主要由三个途径构成：一是源自微扰振动的动能积累；二是由于系统经历的全能膨胀带来的能量增量；三是源于分裂过程中释放出来的能量分量。这些分裂的能量形式可以用以下公式表示：

当系统处处于基态时，则有\rho(t)=|\psi(k)\rangle\left.\bra{\psi(k)}\right|=|n_1\rangle\left.\langle n_1|\right|=|n_1\rangle成立。基于费米能量的分裂原理可知, 系统的分裂能级值为：

因此，我们有：

由于系统的分裂能量在时间维度上具有恒定性；从而，在热运动方程中对时间的积分能够表示为：

为了方便起见，我们定义一个耦合能量，它与时间无关：

进而，热运动方程关于时间的积分也可以写成：

这里，|n_1\rangle是系统的基态。因此，\psi(k,t)=|n_1\rangle。

通过这种途径或方式，在时间维度上计算得到的是耦合能量。考虑到耦合能量与时间和空间之间的相互影响，在低温条件下我们可以观察到这种非平衡的行为存在。

3.6 总结

在本节里, 我们通过非参数化的方法处理量子态冷却问题, 展述了如何借助分裂能量来解析热运动方程与熵方程