2025年美国大学生数学建模竞赛思路与源代码【2025美赛E题】

E题：为农业腾出空间

情况：

为了适应农业发展的需求，在一片被砍伐殆尽的原始森林旁建立了农田系统。在这些区域中曾经繁荣共生的生物群落已经消亡，在取而代之的是农作物种植带逐渐崛起并占据主导地位。土壤资源开始减少——曾经蕴藏着丰富自然资源的土壤逐渐枯竭的同时害虫也开始入侵农作物领域寻求生存空间。面对这些问题农民们不得不依赖化学除草剂来维持农田秩序但这种做法导致了一个更加复杂的问题——依赖人类活动的新农业生态系统正在逐步取代原有的自然生态系统的复杂生命网络在这种转变下传统的有机物生产者如鸟类昆虫和其他动物被迫退居次要地位而新的食物网正在形成

建模和分析：

在全球范围内，这类情况屡见不鲜。作为COMAP小组的一员，请您建立一个模型来追踪森林向农田转变的过程。您的上级指示您的团队负责确定，在生态系统随农业选择演变的过程中，在经过改造后的林区会随着时间推移发生怎样的变化。分析应涵盖自然过程以及人类决策的影响因素。为此，请从新开垦林区生态系统的模型开始，并追踪该系统因物种变迁及耕作方式等多种因素导致的阶段演变情况。建议您基于假设进行建模，并可参考真实历史数据以辅助分析研究

自然过程

• 构建一个反映现有生态系统的模型系统。基于此，在新的农业生态系统中制定基础食物网模型框架，在此过程中需考虑该生态系统已替代了森林茂密地区这一背景条件。
• 该模型需涵盖生产者与消费者之间的关系，并考虑到农业生产周期与季节变化带来的影响因素。
• 在分析过程中需评估除草剂与杀虫剂施用对植物健康状态、昆虫数量以及蝙蝠和鸟类等生物种群数量等多方面因素的作用。
• 随着入侵物种被驱逐出生态系统的可能性降低，在这种情况下本地物种将逐渐回归到原有栖息地范围中。
• 随着这些本地物种的回归状态的确立阶段的到来，则会直接影响到整个农业生态系统的演替进程。
• 在建立模型时需要考虑引入两种不同类型的生物体以考察它们在系统中的作用效果。

人为决策

• 去除杂草剂。当生态系统发展完善时, 农民可能会探索自然方法来减少对化学除草剂的依赖。

  • • 当去除除草剂后, 考察生态系统在生产者与消费者之间关系的稳定性。
• • 在食物网模型中引入蝙蝠以促进生态系统的自我恢复能力。
• • 将蝙蝠拟人化为扮演着控制害虫数量的角色的同时也承担着支持植物繁殖的功能。
• • 分析蝙蝠与其他生物之间关系对生态稳定性的潜在影响。
• • 探索是否有其他生物能够同样促进生态系统的自我恢复能力并比较它们的影响程度。

是否选择有机耕作为其农业生产方式提供指导？需关注其有机成分在不同生产环节的具体表现。探讨对整体生态系统的稳定性及其各组成部分的作用机制。从病虫害防治效果、作物生长状况、繁殖能力以及生态系统的多样性等多个维度展开探讨。

分享您的见解

• 给一位正在探索有机耕作方法的农民写一封信。
  • 向农民供选择使用哪些方法，并涉及讨论经济效益与可持续发展。
  • 指导农民制定可操作的策略以平衡成本与可持续发展，并说明如何利用宣传手段来促进这种农业保护方式。

您的PDF解决方案总页数不超过 25 页，其中应包括

• 摘要页
• 目录
• 详尽的方案
• 一封信件
• 参考文献目录
• 已经使用的人工智能报告（若已使用，请确保不超过25页）

思路求解

1. 自然过程

1.1 建立农业生态系统的初始模型

由于森林被破坏后新形成的是一种农业生态系统。
需构建一个能描述生产者、消费者（包括初级、次级及三级）以及分解者间能量流动基本结构的食物网模型。

模型原理

• 生产物种（P） ：农作物物种与野草物种共同作用下完成光合作用过程固定太阳能作为生产者的功能。
  • 第一营养级（C1） ：属于草食动物类群代表包括蚜虫等具有单细胞结构的小动物。
  • 第二营养级（C2） ：以植食性昆虫为食物的鸟类与蝙蝠类群代表。
  • 第三营养级（C3） ：以中上层生物为食物的主要捕食者包括蛇类及猫头鹰等哺乳动物。
  • 分解物种（D） ：腐生微生物群落中的主要分解者包括真菌菌丝体网络构建者以及细菌代谢网络构建者。

系统能量流动遵循生态学的基本规律：

E_{\text{next}} = \eta \cdot E_{\text{current}}

其中：

• \eta 是能量转移效率，通常为 10%。
• E_{\text{current}} 是当前营养级的能量输入。

数学模型

假设初始生态系统的生物量如下：

• P_0：生产者群体中最初的生物量水平（单位为每公顷千克）。
• C1_0：初级消费者群体中的起始数量。
• C2_0, C3_0：次级以及三级消费者群体的起始数量。

动态生物量变化公式：

\frac{dp}{dt}=r p-\frac{k_{生产者→初级消费者转化率}\cdot p\cdot c_{{初级}}}}{1+h_{{初级}}}
\frac{dc_{{初级}}}{dt}= \left( \eta _{{生产者→初级消费者}}\cdot k_{{生产者→初级消费者转化率}}\cdot p\cdot c_{{初级}}} \right) / ( 1+h_{{初级}} ) - ( k_{{初级→次级消费者转化率}}\cdot c_{{初级}}\cdot c_{{次级}}} ) / ( 1+h_{{次级}} )
\frac{dc_{{次级}}}{dt}= ( k_{{初级→次级消费者转化率}}\cdot c_{{初级}}\cdot c_{{次级}}} ) / ( 1+h_{{次级}} ) - d_{{{次级}}}c_{{{次级}}}

• r：作物的生长速率。
  • k_{x\to y}：表示物种x对y的捕食效率。
  • \eta_{x\to y}：表示物种x通过食物链传递到y的能量比例。
  • h：代表物种间的功能反应参数（如捕食压力）。
  • d_{C2}：指次级消费者群体因自然原因导致的死亡率。

求解方法

采用数值方法（例如四阶龙格-库塔法）来计算上述微分方程组的解，并对时间序列中各物种生物量的变化情况进行考察。

示例代码 （Python）：

    import numpy as np
    from scipy.integrate import odeint
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    # 模型参数
    r = 0.1  # 农作物生长率
    k_p_c1 = 0.01  # P到C1的捕食效率
    k_c1_c2 = 0.005  # C1到C2的捕食效率
    eta_p_c1 = 0.1  # 能量转移效率 (P -> C1)
    eta_c1_c2 = 0.1  # 能量转移效率 (C1 -> C2)
    h = 0.1  # 捕食压力
    d_c2 = 0.01  # C2死亡率
    
    # 初始生物量
    P0, C10, C20 = 1000, 50, 10
    y0 = [P0, C10, C20]
    
    # 微分方程组
    def ecosystem(y, t):
    P, C1, C2 = y
    dPdt = r * P - k_p_c1 * P * C1 / (1 + h * C1)
    dC1dt = eta_p_c1 * k_p_c1 * P * C1 / (1 + h * C1) - k_c1_c2 * C1 * C2 / (1 + h * C2)
    dC2dt = eta_c1_c2 * k_c1_c2 * C1 * C2 / (1 + h * C2) - d_c2 * C2
    return [dPdt, dC1dt, dC2dt]
    
    # 时间序列
    t = np.linspace(0, 200, 500)
    sol = odeint(ecosystem, y0, t)
    
    # 绘图
    plt.plot(t, sol[:, 0], label='Producers (P)')
    plt.plot(t, sol[:, 1], label='Primary Consumers (C1)')
    plt.plot(t, sol[:, 2], label='Secondary Consumers (C2)')
    plt.legend()
    plt.xlabel('Time')
    plt.ylabel('Biomass')
    plt.title('Agricultural Ecosystem Dynamics')
    plt.show()

1.2 物种回归对生态系统的影响

基于边沿栖息地物种的逐渐恢复（例如蝙蝠与鸟类），构建动态模型用于评估其对农业生态系统潜在的影响。

扩展模型

引入蝙蝠 B 和鸟类 A，模型扩展为：

对于系统中的第一种物质来说，
其变化率不仅取决于自身的数量，
还受到另一种物质的影响，
表现为一种相互制约的关系。
具体而言，
当物质的数量达到一定阈值时，
它的变化趋势会受到抑制，
这种现象被称为"阈限效应"。

鸟类生物量（记为A），蝙蝠生物量（记为B）。捕食初级消费者的效率分别为k_{C1\to A}与k_{C1\to B}。鸟类与蝙蝠的死亡率分别为d_A与d_B。

求解和分析

同样使用数值求解方法，研究蝙蝠和鸟类引入后的稳定性和生物量变化。

2. 人类决策

2.1 去除化学品的影响

去除除草剂后，研究生态系统稳定性变化，并引入蝙蝠控制害虫。

模型调整

将化学品使用影响（如杀虫剂对昆虫的杀灭率）表示为参数 \alpha：

\frac{dC1}{dt} = \frac{\eta_{P\to C1} k_{P\to C1} P C1}{1 + hC1} - \alpha C1 - \frac{k_{C1\to B} C1 B}{1 + hB}

其中\alpha = 0表示完全去除化学品。

通过对比分析，量化蝙蝠引入的益处。

示例代码扩展：

    alpha = 0.02  # 化学品使用杀灭率
    
    def ecosystem_with_chemicals(y, t):
    P, C1, C2, B = y
    dPdt = r * P - k_p_c1 * P * C1 / (1 + h * C1)
    dC1dt = eta_p_c1 * k_p_c1 * P * C1 / (1 + h * C1) - alpha * C1 - k_c1_c2 * C1 * C2 / (1 + h * C2)
    dC2dt = eta_c1_c2 * k_c1_c2 * C1 * C2 / (1 + h * C2) - d_c2 * C2
    dBdt = eta_c1_c2 * k_c1_c2 * C1 * B / (1 + h * B) - d_c2 * B
    return [dPdt, dC1dt, dC2dt, dBdt]

2.2 采用有机农业的影响

开发一个涵盖轮作制度、生物防治技术等有机农业措施的情景模型，并探讨其对生态系统平衡与经济成本作用的关系。

模型扩展

加入有机措施（如生物多样性增加和生物控制因子 \beta）：

\beta = f(\text{species diversity, natural predators})

构建多场景模拟，如单一有机措施、多种有机措施的组合。