Why Probabilistic Programming is Great for Machine Lear
作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
概率编程的概述是什么？简述其基本概念和特点有哪些？探讨其在当前技术生态中的地位有何意义？在机器学习领域中，“如何应用概率编程来解决一系列实际问题”？”这些问题将通过本文系统地进行阐述和分析。
probabilistic programming can also be referred to as probabilistic languages. It is a programming language built upon principles of probability theory, Bayesian statistics, and probabilistic models. This approach exhibits high levels of abstraction, enhanced readability, and robust distributed computing capabilities. Compared to conventional programming languages, probabilistic programming places greater emphasis on outcomes rather than the procedural aspects. Its applications are vast and varied, including intelligent customer service systems, recommendation engines, high-precision stock market forecasting, image processing tasks, and comprehensive data analysis methodologies.
2.概率编程中的基本概念与术语
概率分布与随机变量
自古代以来人类一直相信世界充满了不可预测性。无论是在日常生活中最小的如蚂蚁跌倒所见，在宏大的如地球某区域突发大火的情形下都会不可避免地产生各类意外事件。而在科学领域以及工程设计方面若能在系统中建立模型并准确描述这些不确定因素则能够显著提高处理效率。
概率论（Probability theory），即基于可能性系统地推导出某种结果发生几率的方法体系，则被视为所有学科的基石。其核心理念表明：某件事情发生的概率仅受其自身已发生次数的影响，并与其它可能发生事件的频次互不影响。该学科涵盖随机变量、联合分布、条件分布、独立性、期望值、方差、分位数以及Miller-Rabin素性测试等多个关键概念，并且研究范畴极为广泛，涉及自然科学、社会科学以及哲学等多个领域。
在概率论中，随机变量被视为一个核心概念。它被用来表示所有可能的结果及其对应的数值或符号系统性地描述了一个实验的所有可能性及其相关性关系为了便于分析和建模这些结果往往通过特定的符号或数值来进行分类和量化例如，在抛掷一枚硬币时可能出现两种结果：H代表正面朝上和T代表反面朝上假设我们想要计算每次抛掷硬币出现正面的概率是多少我们可以引入一个随机变量X并规定当X等于H时代表出现了正面而当X等于T时则代表出现了反面这样我们就可以通过P(X=H)=1/2来定量地描述这一事件发生的可能性其中P(...)代表事件发生的概率这一设定使得我们能够用数学工具来进行深入的概率分析和预测
概率分布（Probability distribution）表征了随机变量的所有可能取值结果及其对应的概率关系的具体数学表达式，在研究对象不同特征和属性的情况下呈现出多种类型或形式。根据研究对象的不同特征和属性, 概率分布在不同的领域中呈现出多种类型或形式, 如连续型分布、离散型分布、混合型分布等, 其中最常见的情形包括具有明确表达式的确定性关系以及隐含的概率机制两种主要类型. 在实际应用中, 特别是在数据驱动的分析框架下, 我们通常仅限于处理具有连续取值范围的情况. 均匀分布在许多实际问题中被广泛应用。
其中，a为区间左端点，b为区间右端点，x为随机变量落在区间内的值。
联合概率分布（Joint probability distribution）表示两个或多个随机变量各自取不同值的组合出现的概率。它通常用于描述多维数据中的概率关系。举个例子来说，在抛两次硬币的情境中，则可计算出每种可能结果及其对应的联合概率分布情况如图所示：
请注意，联合概率分布并非唯一确定的量度，具体地由这些随机变量之间的关系所决定。
条件概率分布用于描述，在已知其他相关随机变量的影响下某个特定随机变量的概率情况。例如，在已知房屋面积A的情况下，则可以考虑其价格P的概率分析。计算这一类问题时，则可以借助以下数学表达式来进行描述：
在其中，在给定情况下Y被定义为一个已知的概率分布模型中的随机变量；同时假设X被视为待求解的概率分布模型中的另一个随机变量；对于特定取值y属于Y的所有可能取值范围；以及对应地x代表X的一个具体实现或观测结果。
independence（独立性）是衡量两个随机变量之间是否存在任意关系的一种指标。换言之，在两个随机变量X和Y互为mutually independent的情况下，条件 independence（条件独立性）则要求它们之间不存在任何关联关系。举例而言，在抛掷两枚硬币所得结果与单独抛掷一枚硬币所得结果之间是完全不相关的。在概率编程领域中，我们可以通过 independence这一特性来构建模型结构，并由此降低了模型的整体复杂度。
期望值（Expectation）用于评估随机变量的平均表现，在给定一定条件下亦即预测其可能取数值的预期结果。在概率编程框架内，我们通常采用期望最大化算法（EM算法）来估计模型参数。
方差用于评估随机变量值与其均值之间的离散程度。具体而言，在统计学中我们常将较小的方差视为数据分布较为集中现象的表现；反之，在较大的情况下则反映出数据分布较为分散的特点。它不仅能够反映数据分布的分散程度，还能间接体现数据预测的稳定性。
quantiles用于计算一组数据中对应于某一百分比位置上的数值。例如，在取值为0.5时，其对应的数值位于该数据集的中间位置。
抽样与近似推断
取样（Sampling）是从大数据量中选取少量样本用于分析的方法。在面对规模较大的数据集时，通常会采用取样的策略来估算模型参数。对于概率编程领域而言，在实际应用中我们常用蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）来进行模型训练。
蒙特卡洛法（Monte Carlo method）作为一种基于概率统计的技术手段被广泛应用于解决那些计算复杂度极高且难以解析求解的概率问题。该技术体系主要包括多个核心技术环节包括随机数生成器、采样技术和积分法等。其中随机数生成模块则用于生成一系列符合特定分布要求的数字序列通过预设的概率分布模型进行采样操作从而重建出系统或现象的空间结构而积分算法则是一种专门设计用于近似求解复杂函数的方法。
概率编程的一个显著特点是能够容易实现对复杂系统的建模。然而，这种灵活性带来的便利也存在局限性。例如，在模型中引入不确定性因素后，必须依赖于有效的手段（如抽样或近似推断）以提高结果的可靠性。
3.核心算法原理及操作步骤与数学公式讲解
变分推断Variational Inference
变分推断（Variational inference）是一种用于近似计算后验分布的方法，在贝叶斯统计中具有重要应用。其核心思想在于通过变分（variational）参数来模拟真实参数，并寻求这些变分参数的最佳配置以最小化两者之间的差异。这些变分参数通常是从特定先验分布中选取的，并且它们的选择旨在最优化某个目标函数。
在变分推断的核心概念下，在应用中选择合适的变分参数需要考虑所选分布类型的特性以及数据特征的影响因素。高斯分布在统计学中应用广泛且灵活，在实际操作中，在设定好目标函数后；通过施加合理的限制条件能够进一步提高模型的收敛性和准确性；从而实现对原始数据特征的有效捕捉和模拟；最终构建了一个全局性质的近似模型来反映真实情况。
变分推断的具体操作步骤如下：
- 选定一个先验分布族Q(θ)，如高斯分布族作为示例。
- 从参数空间中抽取样本集Z，并使这些样本符合Q(θ)。
- 寻找使E[log p(x)]减去KL散度最小化的目标点位置。
- 通过优化过程获得的最优参数估计值即为近似模型所需。
- 评估所得近似模型的质量并完成验证流程。
变分推断的主要挑战在于如何建立参数与分布族之间的映射关系。此外，在优化过程中难以直接进行优化的量使得这一问题难以解决。在应用中，变分推断常与变分自动编码器（VAE）结合使用，并通过引入噪声项来改善模型效果。
变分推断的数学公式如下所示：
\begin{aligned} &\text{最大化关于}\theta\text{的后验分布}q(\theta)\\ &\quad \mathbb{E}_{\mathcal{D}} [\log p(x|\theta) ] \\ &\quad \text{等于号} \int q(\theta) [\log p(x|\theta) + KL(q(\theta)|\pi_{prior}(·|x))] d\theta \\ &\quad \text{近似等于} \frac{1}{|\mathcal{Z}|}\sum_{i=1}^{|\mathcal{Z}|} [\log p(x^{(i)}) + \underbrace{KL[\tilde{q}(z_i)||p(z_i|x^{(i)})]}_{ELBO(z_i;\phi,\beta)}] + \eta^2 Tr(\nabla_\theta KL[\tilde{q}(z_i)||p(z_i|x^{(i)})]^{-1}_{z_i}) \\ &\quad = \frac{1}{|\mathcal{Z}|}\sum_{i=1}^{|\mathcal{Z}|} \tilde{\mathcal{L}}(z_i; \theta) + \eta^2 KL[\tilde{q}(z_i)||p(z_i|x^{(i)})]_{z_i}^{-1} \end{aligned}
其中
模型构建与推断流程
概率编程的核心理念是建立数据的概率分布。构建过程涉及将数据映射至相应的概率分布，并设定变量之间的相互关系。这些语言通常支持变量类型的声明、模型结构的设计以及推理机制的功能。其中推断过程主要包括三个阶段：一是模型训练阶段，在此期间参数被优化；二是预测阶段，在此期间新样本的数据被输入以生成结果；三是后处理阶段，在此期间结果会被进一步分析和优化。
为了实现模型训练的目标，在特定阶段通过对数据进行采样操作以获取其理论值，并继而通过最小化/最大化目标函数的方法来估计模型参数的具体数值。整个模型训练的过程通常包含以下几个主要步骤：
- 数据预处理：
获取并整理数据后，
完成必要的预处理工作，
如数据归一化和特征工程等内容。 - 模型选择：
从线性回归、逻辑回归和神经网络等多种架构中，
选择合适的机器学习或深度学习架构。 - 超参数配置：
设定关键参数，
包括学习率（learning rate）、迭代次数（number of iterations）和批量大小（batch size）等内容。 - 损失函数选择：
采用平方差损失函数（squared difference loss function）或交叉熵损失函数（cross-entropy loss function）作为评价标准。 - 优化算法选择：
采用梯度下降法（gradient descent method）或Adam优化算法（Adam optimizer algorithm）等方法进行训练。 - 训练流程实施：
根据设定好的训练方案执行训练过程，
并获得目标变量的最佳估计值。 - 模型评估阶段：
使用独立于测试集的数据集来检验和评估机器学习或深度学习模型的预测能力。 - 调优流程实施：
如果验证结果不理想，
则调整相关超参数并重新进行整个调优流程。 - 部署阶段实施：
将已知经过充分调优的机器学习或深度学习框架部署至实际应用环境进行运行使用。
在模型预测阶段，基于模型参数进行新的数据预测。通常情况下，模型的预测过程包括先验和后验两种类型。
首先，在完成模型训练后，可以通过先验推导的方法获得整个数据集的类别概率分布。具体而言，在所有参数的真实取值条件下进行推导运算以计算各类别概率，并依据得出的概率值对数据进行归类为最可能对应的类别。后验推导与先验推导的主要区别在于：后者的计算过程中融合了参数估计值的影响因素，在这种情况下所生成的概率结果会体现出参数估计量所带来的影响特征。
在模型经过后处理阶段时，预测结果可能出现较大的偏差。为了提高预测结果的可靠性，则需对原始预测结果进行后续调整与优化。常见的调整措施包括阈值筛选、采样策略以及综合置信度评估等多种方法。
4.具体代码实例与解释说明
Variational Autoencoder Example
数据准备
在进行VAE建模之前, 必须先准备好相应的数据集. 这里, 我使用了sklearn库来生成二维正态分布的数据集.
import numpy as np
from sklearn.datasets import make_blobs
np.random.seed(1)
X, _ = make_blobs(n_samples=1000, centers=[[-1,-1],[1,1]], cluster_std=0.5)
代码解读其中make_blobs函数可用于生成预设数量的样本数据集，默认情况下每个样本数据集包含两个特征维度。这些特征维度的位置信息由centers参数设定各聚类中心的位置坐标，并通过cluster_std参数设定各聚类间的方差程度。
VAE模型定义
对于简单VAE模型的定义如下：对于简单VAE模型的定义如下：对于简单VAE模型的定义如下：对于简单VAE模型的定义如下：对于简单VAE模型的定义如下：
class VAE(tf.keras.Model):
def __init__(self, latent_dim):
super(VAE, self).__init__()
# encoder architecture
self.dense1 = tf.keras.layers.Dense(units=128, activation='relu')
self.dense2 = tf.keras.layers.Dense(units=latent_dim * 2)
# decoder architecture
self.dense3 = tf.keras.layers.Dense(units=128, activation='relu')
self.dense4 = tf.keras.layers.Dense(units=2)
def encode(self, x):
h1 = self.dense1(x)
mu, logvar = tf.split(value=self.dense2(h1), num_or_size_splits=2, axis=-1)
return (mu, logvar)
def reparameterize(self, mean, logvar):
eps = tf.random.normal(shape=mean.shape)
std = tf.exp(0.5*logvar)
z = mean + eps * std
return z
def decode(self, z):
h3 = self.dense3(z)
logits = self.dense4(h3)
return logits
def vae_loss(x, recon_x, mean, logvar):
"""Calculate the loss function given inputs and outputs."""
BCE = tf.reduce_sum(tf.nn.sigmoid_cross_entropy_with_logits(labels=x, logits=recon_x)) / x.shape[0]
KLD = -0.5 * tf.reduce_sum(1 + logvar - tf.square(mean) - tf.exp(logvar))
return BCE + KLD
代码解读其中，在潜在空间中实现编码过程的是encode()函数，在潜在空间中完成潜在向量重参数化的则是reparameterize()函数。为了防止潜在表示空间中的模型振荡现象发生，我们在损失函数中引入了一个正则项以约束潜在表示的方差
decode() 函数用于将隐含表示映射到原始输入空间中。vae_loss() 函数用于评估变分自编码器（VAE）的损失函数。
模型训练
latent_dim = 2
model = VAE(latent_dim)
optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(lr=1e-3)
for epoch in range(100):
train_ds = tf.data.Dataset.from_tensor_slices((X)).batch(32)
for step, x in enumerate(train_ds):
with tf.GradientTape() as tape:
mean, logvar = model.encode(x)
z = model.reparameterize(mean, logvar)
recon_x = model.decode(z)
loss = vae_loss(x, recon_x, mean, logvar)
grads = tape.gradient(loss, model.trainable_variables)
optimizer.apply_gradients(zip(grads, model.trainable_variables))
if step % 10 == 0:
print('Epoch {} Step {} Loss {:.4f}'.format(epoch, step, float(loss)))
代码解读模型的训练过程将在训练数据集上执行。每当开始一次训练步骤时，在迭代过程中将更新模型参数。通过TensorFlow提供的自动微分功能计算梯度，并根据计算结果更新模型参数。每隔10个迭代步骤记录一次当前损失值。完成整个训练流程后, 该模型可以直接用于生成预测结果, 并对这些结果进行后续处理。
模型预测与后处理
new_point = np.array([[2., 2.]])
_, _, decoded = model([new_point]*2)
print("Input point:", new_point)
print("Decoded point:", decoded.numpy())
代码解读在模型预测的过程中，在输入一个二维向量后会得到三个结果：一是隐式表示的均值估计，在编码过程中获得第二个结果是隐式表示的方差估计以及第三个结果是在解码过程中得到原始输入空间中的向量。为了生成一致且稳定的隐式表示，在编码阶段我们假设所有样本都会被赋予相同的固定方差值。这样一来，在解码过程中所有的估计出的方差都保持不变。
模型后处理的例子暂且不表。
5.未来发展趋势与挑战
更多模型结构支持
当下而言, Variational Autoencoders（VAE）仅作为一种广泛使用的流行模型存在. 然而该方法的设计简洁且展现出良好效果. 随着深度学习技术的进步, 提出了越来越多新的架构设计, 希望在未来能有更多的新方法与该方法兼容并加以改进.
大规模数据集支持
目前，VAE模型的有效性尚未被充分验证，在实际应用中则需要更为庞大的验证和测试样本；此外，还有其他多种模型架构同样适合进行大规模数据集的训练，并且这些架构与VAE具有可比性
鲁棒性保证与安全性考虑
当前VAE的研究尚未达到完善程度。尽管取得了显著进展，
但其安全性仍需进一步验证与优化。
具体而言，
包括模型欺骗攻击和隐私泄露等潜在威胁。
为确保用户的隐私权益得到充分保护，
建议继续深入研究和完善相关技术方案。