2025年3月17日（动量轮）

圆环与圆盘转动惯量推导（通俗版）

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一、圆环的转动惯量

场景 ：想象一个自行车轮胎（圆环），所有质量均匀分布在半径为 ( R ) 的圆周上。

推导思路 ：

圆环上每个微小质量元素 (Δm) 到转轴的沿转轴方向距离均为 (R)。
转动惯量的计算式为 (I = \sum (\Delta m \cdot R^2)) ，由于每个微小质量元素到转轴的距离均为 (R)，因此可将 (R^2) 提取出来：
I = R^2 \sum \Delta m = R^2 \cdot M
其中 (M) 表示圆环的总质量。

• 结论 ：
  [
  I_{\text{圆环}} = M R^2
  ]

具有质量 ( M equals 2 kilograms ) 和尺寸 ( R equals 0.5 meters ) 的圆圈（称为呼啦圈），其围绕中心轴旋转的转动惯量等于：
[
I equals M乘以R平方等于2千克乘以(0.5米)平方等于0.5千克·米平方
]
意义：所有质量集中于边缘区域，则转动惯量达到最大值。

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二、圆盘的转动惯量

场景 ：想象一个实心铁饼（圆盘），质量均匀分布在半径 ( R ) 的整个圆面上。

推导思路 ：

将圆形区域划分为无数个同心细环等同于树木年轮的结构（类似树干生长形成的 annually rings），每个细环的半径大小为 r ，宽度大小为 dr

每个细圆环的质量 ：

• 圆盘总量为 ( M ) ，其面积值为 ( \pi R^2 ) ，因此单位面积的质量（面密度）为：
  \sigma = \frac{M}{\pi R^2}

• 细圆环的面积可被视为一个长方形展开（其宽度为 dr ），因此单个细圆环的质量 dm 可表示为：
  dm = σ × 2πr × dr
  其中：
  dr = σ × 2πr × dr = σ × 2πr × dr = σ × 2πr × dr = σ × 2πr × dr

每个细圆环的转动惯量 ：
[
\Delta I = \Delta m \cdot r^2 = \frac{2M r , dr}{R^2} \cdot r^2 = \frac{2M r^3 , dr}{R^2}
]

计算各薄圆环转动惯量并累加 （积分）：
I = ∫₀ᴿ ( 2M r³ ) × dr / R²
= ( 2M / R² ) × ∫₀ᴿ r³ dr
= ( 2M / R² ) × [ r⁴ / 4 ]₀ᴿ
= ( 1/4 )( 2M / R² ) × R⁴
= ( M R² ) / 2

结论 ：
[
I_{\text{圆盘}} = \frac{1}{2} M R^2
]

意义

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三、对比圆环与圆盘

物体	转动惯量	质量分布特点	难易程度
圆环	( I = M R^2 )	质量全在边缘	更难转起来（转动惯量大）
圆盘	( I = \frac{1}{2} M R^2 )	质量从中心到边缘均匀分布	更容易转起来（转动惯量小）

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一句话总结

“圆环质量堆边缘，转动惯量是MR²；圆盘质量铺满盘，惯性直接砍一半。”