基于 Matlab 的有限元分析研究

一、引言

在工程领域，无论是机械结构设计、航空航天零部件研发，还是土木工程建筑规划，都需要对复杂结构在各种工况下的力学性能进行精确分析。有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）作为一种强大的数值分析方法，能够将复杂的连续体离散为有限个单元的组合，通过求解这些单元的力学平衡方程来模拟整个结构的响应。Matlab 作为一款功能卓越的科学计算软件，为有限元分析提供了便捷且高效的实现途径，极大地推动了该技术在工程实践中的应用。

二、有限元分析基础理论

（一）离散化原理

有限元分析的核心是将实际的连续结构离散成有限个小单元，这些单元通过节点相互连接。常见的单元类型包括杆单元、梁单元、三角形单元、四边形单元等。例如，在平面应力问题中，可将结构划分成许多三角形或四边形单元。离散化过程中，需要根据结构的几何形状、边界条件和预期的精度来合理选择单元类型和划分密度。

（二）单元刚度矩阵

每个单元都有其对应的单元刚度矩阵，它描述了单元节点力与节点位移之间的关系。对于不同类型的单元，其单元刚度矩阵的推导方法不同。以简单的杆单元为例，根据材料力学的胡克定律和几何关系，可以推导出其单元刚度矩阵。

（三）总体刚度矩阵的组装

将各个单元的刚度矩阵组装成总体刚度矩阵是有限元分析的关键步骤。通过将每个单元在总体坐标下的刚度贡献叠加到总体刚度矩阵中相应的位置，可得到整个结构的总体刚度矩阵。在组装过程中，需要考虑单元节点与总体节点编号的对应关系。

（四）边界条件和载荷处理

边界条件和载荷是有限元分析的重要输入。边界条件包括固定约束、位移约束等，它限制了结构在某些节点处的位移。载荷可以是集中力、分布力或扭矩等。在 Matlab 中，需要将这些边界条件和载荷信息以合适的方式纳入有限元模型中。

三、Matlab 在有限元建模中的应用

（一）几何建模

Matlab 可以通过多种方式创建有限元分析的几何模型。对于简单的几何形状，如矩形、圆形等，可以直接使用 Matlab 的绘图函数来定义节点坐标和单元连接关系。例如，创建一个简单的矩形平面结构：

 % 定义节点坐标

    
 node_coord = [0 0; 0 1; 1 1; 1 0];
    
  
    
 % 定义单元连接关系
    
 elem_conn = [1 2; 2 3; 3 4; 4 1];
    
    
    
    
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对于复杂的几何模型，可以从外部 CAD 文件中导入几何数据，Matlab 可以通过相关的接口函数实现数据读取和处理。

（二）单元划分

在 Matlab 中，可以使用自定义的算法或调用已有的有限元工具箱来进行单元划分。对于二维结构，可以基于几何形状和指定的划分规则生成三角形或四边形单元。例如，使用 Delaunay 三角剖分算法将一个平面区域划分成三角形单元：

 % 假设已经有了平面区域内的节点坐标 points

    
 tri = delaunay(points);
    
    
    
    
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（三）材料属性赋值

根据结构所使用的材料，为每个单元赋予相应的材料属性，如弹性模量、泊松比等。在 Matlab 中，可以通过创建材料属性矩阵来实现，将每个单元的材料属性索引与相应的材料参数对应起来。

 % 定义材料属性

    
 E = 200e9; % 弹性模量
    
 nu = 0.3; % 泊松比
    
 material_prop = [E nu];
    
  
    
 % 为单元分配材料属性索引（假设每个单元的索引为1）
    
 elem_material_index = ones(num_elem,1);
    
    
    
    
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四、Matlab 在有限元求解中的应用

（一）总体刚度矩阵组装

通过遍历每个单元，根据单元刚度矩阵和节点编号关系，将单元刚度矩阵组装到总体刚度矩阵中。以下是一个简单的示例代码片段，假设已经有了单元刚度矩阵数组 elem_stiffness 和单元节点编号矩阵 elem_node：

 num_nodes = length(node_coord);

    
 K = zeros(num_nodes*2,num_nodes*2); % 对于平面问题，每个节点有2个自由度
    
  
    
 for i = 1:num_elem
    
     local_nodes = elem_node(i,:); % 获取单元节点编号
    
     local_K = elem_stiffness(i); % 获取单元刚度矩阵
    
     for m = 1:size(local_nodes,2)
    
     for n = 1:size(local_nodes,2)
    
         global_row = (local_nodes(m)-1)*2 + [1 2];
    
         global_col = (local_nodes(n)-1)*2 + [1 2];
    
         K(global_row,global_col) = K(global_row,global_col) + local_K((m-1)*2 + [1 2],(n-1)*2 + [1 2]);
    
     end
    
     end
    
 end
    
    
    
    
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（二）边界条件处理

根据给定的边界条件，对总体刚度矩阵和载荷向量进行修改。例如，对于固定约束的节点，将其对应的行和列在总体刚度矩阵中置零，并将载荷向量中相应的项也置零。

 % 假设 fixed_nodes 是固定节点编号向量

    
 for i = fixed_nodes
    
     row_indices = (i-1)*2 + [1 2];
    
     K(row_indices,:) = 0;
    
     K(:,row_indices) = 0;
    
     K(row_indices,row_indices) = 1;
    
 end
    
    
    
    
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（三）求解线性方程组

有限元分析最终归结为求解线性方程组 ，其中 是总体刚度矩阵， 是节点位移向量， 是载荷向量。在 Matlab 中，可以使用多种方法求解线性方程组，如直接求解法（\运算符）或迭代求解法（如共轭梯度法等）。

 % 假设 F 是载荷向量

    
 displacements = K\F;
    
    
    
    
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五、有限元结果后处理与可视化

（一）位移结果可视化

通过绘制节点位移后的位置，可以直观地观察结构的变形情况。在 Matlab 中，可以使用绘图函数将变形前后的结构形状绘制出来。例如，对于二维平面结构：

 % 绘制原始结构

    
 plot(node_coord(:,1),node_coord(:,2),'k-');
    
  
    
 % 根据节点位移绘制变形后的结构
    
 deformed_coord = node_coord + reshape(displacements,size(node_coord));
    
 plot(deformed_coord(:,1),deformed_coord(:,2),'r-');
    
    
    
    
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（二）应力和应变结果可视化

除了位移，有限元分析还可以得到结构内部的应力和应变分布。可以使用彩色云图等方式来可视化应力和应变结果，Matlab 的图形处理功能可以方便地实现这一目标。例如，通过将应力值映射到颜色上，绘制应力云图：

 % 假设 stress 是节点应力值向量

    
 scatter(node_coord(:,1),node_coord(:,2),20,stress,'filled');
    
 colorbar;
    
    
    
    
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六、结论

Matlab 为有限元分析提供了一个全面且高效的平台，从几何建模、单元划分、刚度矩阵组装到求解和结果可视化，各个环节都可以通过 Matlab 的编程实现。利用 Matlab 的有限元分析功能，工程师和研究人员能够快速、准确地对复杂工程结构进行力学性能分析，为结构设计、优化和故障诊断提供有力支持，进一步推动工程领域的技术创新和发展。