离散数学：集合的性质

集合 X 的划分是指将 X 中的所有元素分割为多个真子集，并且这些真子集包含 X 的全部元素且相互排斥。例如，设 A = {a, b, c}，则 {{a}, {b, c}} 是 A 的一个正确的划分。
对于关系的对称性和反对称性，在具有对称性的集合中，若存在 x 与 y 有关系 R（即 x R y），则 y 与 x 也有关系 R（即 y R x）。在具有反对称性的集合中，则若存在 x 与 y 有关系 R（即 x R y），则 y 与 x 没有关系 R（即 y R x）。例如：
关系 R = {<a, a>, <b, b>, <d, d>} 具有对称性和反对称性；
关系 R = {<a, c>, <c, a>, <c, d>, <d, c>} 具有对称性；
关系 R = {<a, c>, <a, b>} 具有反对称性；
关系 R = {<a, c>, <c, a>, <a, b>} 则既没有对称性也没有反对称性。
关于集合的基本运算：
并集 A∪B 表示属于 A 或属于 B 的所有元素；
交集 A ∩ B 表示同时属于 A 和 B 的所有元素；
补集 A - B 表示属于 A 但不属于 B 的所有元素；
绝对补集 U - A 表示全集中不属于 A 的所有元素；
对称差集 A ⊕ B 表示仅属于其中一个集合而不属于另一个的所有元素。

集合的划分

概念：将集合X进行分划即为将其全体元素分离为若干个互不相交的真子集。这些真子集不仅覆盖了整个集合X的所有元素，而且互不相交。

举例说明

设集合 A 包含元素 a、b 和 c，则关于集合 A 的划分正确的一项是（ D ）

集合的对称性及反对称性

在具备对称性的集合中满足 x 和 y 具有关系 R 即 x R y 的情况下 必然也满足 y 和 x 具有关系 R 即 y R x （其中 x 和 y 是不同的元素）；这种性质被称为对称性

对称性概念：在具备对称性的集合中满足 x 和 y 具有关系 R 即 x R y 的情况下 必然也满足 y 和 x 具有关系 R 即 y R x （其中 x 和 y 是不同的元素）；这种性质被称为对称性

反对称性的概念：在一个遵循反对称性原则的集合中,若对于该集合中的任意两个不同元素x和y满足关系R,即有x R y,则对于任意两个不同元素y和x来说，在此关系下不成立的情况即为y不关联于x的情况。其中,x和y为互不相同的元素。

举例说明

R=\{(a,a),(b,b),(d,d)\} 仅包含自反元素
R=\{(a,c),(c,a),(c,d),(d,c)\} 满足关于 x=y 的镜像映射
R=\{(a,c),(a,b)\} 仅存在单向连接
R=\{(a,c),(c,a),(a,b)\} 既不满足关于 x=y 的镜像映射也不具备严格的偏序特性

图片来源

集合的运算

集合的并 A∪B

集合的交 A ∩ B

集合的补

相对补集：A - B

绝对补集：U - A

集合的对称差 A ⊕ B