动态规划——最长递增子序列和最长公共子序列
（1）最长递增子序列
一个序列有n个数：a[1],a[2],…,a[n]，求出最长递增子序列的长度。
比如说对于测试数据5，3，4，8，6，7来说：
- 第一个数字5，d[0] = 1
- 第一个数字3，前面没有比他还小的了，d[1] = 1
- 第三个数字4，最长的递增子序列就是3，4，d[2] = 2
- 第四个数组8，d[3] = 3
- 第五个数字6，d[4] = 3
- 第六个数字7，d[5] = 4
思路就是用d[i]来记录a[i]为结尾的子序列中最大递增子序列的长度，对于每一个i，令j从1到i - 1遍历，当a[j] < a[i]，比较当前d[i]和每一个d[j] + 1的大小，将最大值赋给d[i]。
public class Sequence {
static int[] a;
static int[] d;
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n = in.nextInt(); // 序列中数的个数
a = new int[n + 1];
d = new int[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i] = in.nextInt();
d[i] = 1; //初始化d
}
System.out.println(dpmax(n));
in.close();
}
public static int dpmax(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j < i; j++) {
if (a[j] < a[i])
d[i] = Math.max(d[i], d[j] + 1);
}
}
return d[n];
}
}
AI写代码（2）最长公共子序列
给定2个序列，求这两个序列的最长公共子序列，不要求子序列连续（序列中的数有先后顺序）。例如{2,4,3,1,2,1}和{1,2,3,2,4,1,2}的结果是{2,3,2,1}，{2,3,1,2}和{2,4,1,2}，也就是最长公共子序列长度唯一，但子序列不唯一。
下面这个图解释的很清楚。 图和思路都来自网络，文章末尾有注明。
用d[i][j]表示序列a[0i]和序列b[0j]的最长公共子序列的长度，这是状态，对应上图中的数字。
状态转移方程：
当a[i] == b[j] 时，d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + 1，re[i][j] = 0
当a[i] != b[j]时，有三种情况 ：
1.d[i - 1][j] > d[i][j - 1]，则d[i][j] = d[i - 1][j]，re[i][j] = 1
2.d[i - 1][j] < d[i][j - 1]，d[i][j] = d[i][j - 1]，re[i][j] = -1
3.d[i - 1][j] == d[i][j - 1]，d[i][j] = d[i][j - 1]，re[i][j] = 2
这里用re[i][j]来表示每个d[i][j]的方向来源，对应图中的箭头。0表示从d[i - 1][j - 1]转移而来，1表示从d[i - 1][j ]转移（图上表示为d[i][j]的左边大于上边），-1表示从d[i ][j - 1]转移，2表示d[i][j]的来源有两条路，即d[i][j - 1]或d[i - 1][j]转移，所以是输出所有结果（题例为3个）的关键。
输出函数prt()用的递归，用result[current_len]保存当前值（current_len初始值为前面计算出的最长长度len），这样可以保证是正序输出。
public class Test{
static int[][] d; // d[i][j]记录a[i]和b[j]的最长公共子序列长度，初始化为0
static int[][] re;
static int len = 0; // 子字符串的长度
static int count = 0; // 用于保存最长公共子字符串的个数
static int[] result; // 用于暂时保存结果
static int[] a;
static int[] b;
public static void main(String[] args) {
Scanner in = new Scanner(System.in);
int n1 = in.nextInt();
int n2 = in.nextInt();
a = new int[n1 + 1];
b = new int[n2 + 1];
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
a[i] = in.nextInt();
}
for (int i = 1; i < b.length; i++) {
b[i] = in.nextInt();
}
result = new int[n1 + 1];
d = new int[a.length][b.length];
re = new int[a.length][b.length];
len = dp(a, b);
System.out.println("the length :" + len);
prt(a.length - 1, b.length - 1, len);
System.out.println("共有：" + count + "种");
in.close();
}
public static int dp(int[] a, int[] b) {
// initial
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
d[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < b.length; i++) {
d[0][i] = 0;
}
for (int i = 1; i < a.length; i++) {
for (int j = 1; j < b.length; j++) {
if (a[i] == b[j]){
d[i][j] = d[i - 1][j - 1] + 1;
re[i][j] = 0;
}
else if (d[i][j - 1] < d[i - 1][j]){
d[i][j] = d[i - 1][j];
re[i][j] = 1; // 上方向
}
else if (d[i][j - 1] > d[i - 1][j]) {
d[i][j] = d[i][j - 1];
re[i][j] = -1; // 左方向
} else {
d[i][j] = d[i][j - 1];
re[i][j] = 2;
}
}
}
return d[a.length - 1][b.length - 1];
}
public static void prt(int i, int j, int current_len) {
if (i == 0 || j == 0) {
for (int s = 0; s < len; s++) {
System.out.print(result[s] + " ");
}
System.out.println();
count++;
return;
}
if (re[i][j] == 0) {
current_len--;
result[current_len] = a[i];
prt(i - 1, j - 1, current_len);
} else if (re[i][j] == 1) {
prt(i - 1, j, current_len);
} else if (re[i][j] == -1) {
prt(i, j - 1, current_len);
} else {
prt(i - 1, j, current_len);
prt(i, j - 1, current_len);
}
}
}
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