数字信号处理——卷积
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前言
一、线性卷积
二、周期卷积
1.引入库
2.读入数据
总结
前言
本篇主要对线性卷积、周期卷积、圆周卷积的概念、计算方法进行总结与讲解。参考文献主要有：
[1]王艳芬，张晓光等著.《数字信号处理原理及实现》，第4版，北京：清华大学出版社，2023年4月.
[2]高西全，丁美玉.《数字信号处理》，第5版，西安：西安电子科技大学出版社，2022年.5月.
一、线性卷积
1.概念
线性时不变（Linear Time-Invariant, LTI）离散系统对离散信号处理的过程可用单位脉冲响应h(n)表示。h(n)是输入为单位脉冲
时系统的输出，，即
。
对于一般的输入信号
,输出为
因此，LTI系统的输出是单位脉冲响应与输入信号的卷积，公式如下：
卷积的计算步骤包括翻折、移位、相乘、相加，序列范围是x(n)与h(n)的序列边界之和，长度是x(n)与h(n)的序列长度之和少1位.
根据定义式可得以下推论：
证明如下：
上式中，
以纵轴为对称翻转得
，
只有在m=0时有值为1。
，证明略。
k>0,表示序列x(n)右移k个位，k<0时，表示x(n)左移k位。
2.计算
例题1：x(n)=R4(n),h(n)=R4(n)时的卷积y(n)=x(n)*h(n).
分析：x(n)中
,h(n)中
，卷积的结果y(n)的序列范围为
,长度为N=4+4-1=7.
公式法
图解法 [1]
列表法[1]
竖式
依据：
，图中h(n)中的各个序列值依次与x(n)相卷积，得对应背景色的序列值，最后对应位值相加，即得卷积结果。
练习：计算 
线性卷积。答案： y(n)={1,3,6,5,3,n=0,1,2,3,4}.
二、周期卷积
1.概念
两个周期为N的序列进行卷积，结果呈现周期性，称为周期卷积.
2.计算方法
步骤：翻转、移位、相乘、相加。
例题： 
求两者的周期卷积
.
根据计算公式，采用图表法展示周期卷积的计算过程，得出结果也是周期为N=5的周期序列。黄底部分为y(-m)一个周期的移位，所得卷积结果为周期卷积的主值区间。
三、圆周卷积（循环卷积）
1.概念
有限长序列进行周期为L的卷积，结果取主值区间，即为圆周卷积。
若序列长度不足L位，在后面补零。
2.计算
步骤：周期延拓，然后翻转、移位、相乘、相加。
例题： 
求长度为L=4，L=5，L=7的圆周卷积
.
图表法：
矩阵运算法[2]：
分析以上三种周期的圆周卷积结果，发现圆周长度L满足
时，结果与线性卷积的结果相同，L小于线性卷积长度时，前面有N-L位产生混叠, 如 
中的4=1+3。
总结
以上是对数字信号处理中的三种卷积进行了总结，介绍了其基本概念、计算方法及三者之间的关系，根据时移性质改善了竖式计算。