相机动态/在线标定

图1	图2

基本原理
【原理1】平行线在射影变换后会交于一点。如图所示，A为相机光心，蓝色矩形框为归一化平面，O为平面中心。地面四条黄色直线为平行且等距的车道线。HI交其中两条车道线于H、I， 过G作HI的平行线GM交车道线于M。HI、GM在归一化平面上的投影分别为JK、PN，二者会交于一点Q。准确来说，地平面上所有与HI平行的直线在归一化平面上的投影都交于Q，这也是平行线在投影面上的灭点。

为什么呢？考虑投影的成因，以GM上一点S为例，S投影为T，即AS与投影平面的交点为T。那么
当S向M方向移动到无穷远处，T落在QN及其延长线上，直到S超过GM与PN的交点，此时投影在NQ的延长线上。
当S向G方向移动到无穷远处，T不断向Q靠近，AT趋于与GM平行。换句话说，AQ表示GM的方向，所以所有与GM平行的直线的投影都交与同一点Q。

据此原理，对于投影平面上的任意一条截线，其上必然存在一点为灭点Q，并且AQ为这条截线对应的地平面上的直线的方向。
同理，地面上的平行车道线的投影也交于灭点V，AV为车道线的方向。
显然AV，AQ都平行于地平面，因此二者的叉积即为地平面的法向量。当车辆行驶方向与车道线方向一致，则可推导相机相对于车体/地面的外参。

一般而言，vanish point还是好求的，但是第二个灭点该如何找呢？
那么，考虑这种情况。在归一化平面上作和相机系X轴，即上下边平行的直线交三条平行的车道线投影于M,N,P，其对应在地面上的点为J,K,L。作JKL的平行线QR交地面车道线于QR，QR在归一化平面上的投影为ST。由上面原理可知，ST与MNP交于一定点U。因此，问题转化为如何求解U。

【原理2】射影交比不变性和投影调和共轭。二者结合起来就是一个结论，K为JL的中点时候，K关于JL的调和共轭点是无穷远处Z，其对应的交比为-1。由上面的原理，我们可知，Z的投影为U。由交比不变性可知，(P,M;N,U)的交比和（L,J;K,Z）的交比相同。所以构建方程可以求解U的坐标。

ABC三点共线，L为线外一点，过C作直线交LA于M、交LB于N，MB、NA交于K点，LK交AB于D点，则称D为C点相对于AB的调和共轭点。交比 (A,B;C,D)=−1∗ACBC=−1(A,B;C,D) = -1*\frac{AC}{BC} = -1恒成立。
ABC不变时，无论L和MN如何变化，D为定点。
当C为无穷远点时，D为AB中点。

交比定义为 (A,B;C,D)=(ABC)(ABD)=ACBCADBD=AC⋅BDBC⋅AD(A,B;C,D) = \frac{(ABC)}{(ABD)} = \frac{\frac{AC}{BC}}{\frac{AD}{BD}} = \frac{AC\cdot BD}{BC \cdot AD}

交比不变性
(A,B;C,D)=(A′,B′;C′,D′)(A,B;C,D) = (A',B';C',D')
具体地，ABCD在地面上，D是无穷远点，那么可以计算得上式左边的值。
A’B’C’D’在图像平面上，已知A’B’C’，那么可以求解D’的图像坐标，对应的，相机光心与D的向量就是直线ABCD的方向。