足球赛排名问题matlab,数学建模-足球队排名.doc
数学建模-足球队排名
足球队排名
摘要
本文旨在为足球 ranking 问题提供一个基于各 team 成绩确定球队 rank 的 model。我们采用 competition diagram method 和 analytic hierarchy process 来确定 football team's ranking order and results. 我们需要先构建一个 competition diagram G, 其中 G 由 n 个顶点 T₁, T₂,…, Tₙ 组成, 然后通过建立 G 的 edge set 就可以计算出各个球队 rank 的顺序. 这个 rank 正是比赛成绩所体现出来的各个球队实力水平的表现. 我们的 model 充分考虑了 rank 结果对各个比赛成绩的重要反馈影响, 几乎消除了由于对手实力强弱不同而导致的比赛不公平现象的影响, 因此该 model 在解决 football 队 rank 问题方面表现得非常出色
关键词：竞赛图 、邻接矩阵、最大特征值、特征向量
提出问题
附表中列出了我国12支球队于1988至1989年期间在全国甲级联赛中的具体成绩数据，并要求通过建立合理的数学模型来对这些球队进行排名排序。这种排名的目的在于依据各队的比赛成绩确定其实力强弱的顺序排列。因此，在设计一个好的排名算法时应当充分考虑并满足以下基本需求：
我们有理由相信各队的实际竞技水平会在成绩记录中得到体现。因此基于排序的目标要求排序结果与实际竞技水平保持一致。
稳定性:成绩表中校的变动不会对排名造成巨大的影响。
能够应对不同类型的比赛权重分配：因为不同的比赛在排名中的重要性各有差异，在实际操作中往往会出现某些队伍在面对实力强劲的对手时可能出现失利的情况，从而有效防止因对手实力差异带来的不公现象
我们能够准确地完成补残工作：这两支球队之间未曾交手过。由于成绩表存在缺失，则对于两支队伍的成绩缺失部分，则需依据它们与其他球队的比赛成绩来评估其实力。
能够判断成绩表的可约性。
容忍不一致现象
对数据可依赖程度给出较为精确的描述。
问题的重述
该表格列出了我国十二支足球队在1988至1989年度全国足球甲级联赛中的比赛数据要求（见附表一）
开发一个根据这些成绩确定各队排名顺序的排序系统，并展示该系统运行后的最终排名情况。
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把算法推广到任意N 个队的情况
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讨论数据应具备什么样的条件用你的方法才能够排出诸队的名次
对下表的说明
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12 支球队依次记作 T1,T2,··· T12
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符号 X 表示两队未曾比赛
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数字表示两队比赛结果如T3 行与T8 列交叉处的数字表示T3 与T8 比赛
了2 场T1 与T2 的进球数之比为 0：1 和 3 ：1
模型的假设
将某一对排在另一对之前时，则不应仅关注这两队的表现情况；而是应当全面考察两队各自在整个赛季中的全部比赛成绩。
应在对手实力强弱方面给予充分关注，在比赛结果中尽量降低由于球队水平异常导致的影响。同时也要警惕实力较弱队伍超出预期后的排名提升。
如果两队之间因为多种原因未能进行比赛或者战平，则会根据其他队伍的成绩来评估这两支队伍的实力强弱。
参赛各队存在客观的真实实力，这是任何一种排名算法的基础。
每场比赛中展现出来的强队与弱队之间的表面实力对比围绕着其真实实力对比展开，并呈现出相互独立的真实状态分布。
符号说明
符号及其定义与说明(Ti, Tj)表示第i支队伍与第j支队伍的比赛关系；其中i,j=1,2,3,…,12；ai,j和aj,i分别代表第i支队伍对第j支队伍表现实力的不同度量；此外，在Ti击败Tj的情况下计算二次积分，并引入权重向量w构建辅助判断矩阵B；主判断矩阵A则用于计算每一对竞赛中的胜负关系；mi,j表示在Ti击败Tj时平均每场净胜球数。
模型的建立和求解
方法一、竞赛图法
(问题一)、根据这些成绩建立排名模型，并运用该模型得出具体的排名结果。
根据问题的假设和比赛成绩表，我们构造竞赛图如下：
以n个参赛队T1,T2,T3,…,Tn为竞赛图G 的顶点，G的边集按如下算法求得：
i从1到n循环，j从1到n循环。
当 Ti 在与 Tj 的比赛中获胜次数较多时，则将 Ti 设定为这条有向边的尾部节点，并将 Tj 设定为主导节点；反之亦然地，在 Tj 胜利次数超过 Ti 时，则建立连接 Tj 和 Ti 的有向边。（注：如果有双方战平的情况发生，则将进球数较多的一方设为主导节点；若有胜负不分的情况，则无需建立这条有向边）
根据建边情况，可建立矩阵A=aij如下：
aii=0；
当i≠j时，若Ti，Tj建边，则取aij=1，aji=0；
若Ti，Tj之间未建边，则aij、 aji不计数
则建立A的矩阵如下表所示：
T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10T11T12
T100111001
T2001110
T3110111011
T40000000000
T5001000
T6000110
T7111011111
T8101001
T900100111
T1010100011
T11000000
T12