LaTex 数学排版

    % 导言区
    \documentclass[a4paper]{article}
    
    \usepackage{ctex}
    \usepackage{xeCJK} %导入这个宏包，就可以支持中文
    \usepackage{amsmath} %数学粗体所需要的的宏包
    \usepackage{amsfonts} %空心粗体所需要的的宏包
    \usepackage{mathtools} %避免手动虚伪调整
    \usepackage{esint} %该宏包可能与amsmath冲突，即使使用也请放在amsmath之后加载。
    \usepackage{yhmath} %使用波浪线和尖帽号所需的宏包。
    \usepackage{mathtools} %提供更改列对齐的宏包
    \usepackage{amssymb} %提供大于小于或者小于等于所需的宏包
    \usepackage{amsthm} %提供proof环境
    \usepackage{mathrsfs} %\mathscr会用到它。
    \usepackage{extarrows} %提供一些实用的长箭头与长等符号。
    
    \newcommand{\ud}{\mathop{}\negthinspace\mathrm{d}}
    \newcommand{\ue}{\mathrm{e}}
    \newcommand{\closure}[2][3]{{}\mkern#1mu\overline{\mkern-#1mu#2}}
    \newcommand{\Bfrac}[2]{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}
    
    \renewcommand{\*}{discretionary{\,\mbox{$\cdot$}}{}{}}
    
    \theoremstyle{definition}\newtheorem{laws}{Law}[section]
    \theoremstyle{plain}\newtheorem{ju}[laws]{Jury}
    \theoremstyle{remark}\newtheorem*{marg}{Margaret}   
    \begin{document}
    	% 4.1行内与行间公式
    	% 行内公式是指将公式嵌入到文段的排版方式，要求公式垂直距离不能过高，否则影响排版效果。
    	% 行内公式的书写方式如下：
    	% $...$ 或者 \(...\) 或者 \begin{math}...\end{math}
    	% 一般推荐前两种方式。
    	$\sum_{i=1}^{n}a_i$ 
    	
    	% 另一种公式排版方式是行间公式，也称行外公式，使用如下：
    	% \[...\] 或者 \begin{displaymath}...\end{displaymath}
    	% 或者amsmath提供的\begin{equation*}...\end{equation*}
    \[\sum_{i=1}^n{a_i}\]
    
    % 从上面的两个例子可以看出，即使输出相同的内容，行内和行间的排版也还是有区别的，比如累加符号上标是写在正上方还是写在右上角。
    % 如果行间公式需要编号，则需要equation环境，还可以插入如下标签：
    \begin{equation}
    	\label{eq:NoExample}
    	|\epsilon|>M
    \end{equation}
    
    % 4.2空格、字号与数字字体
    % 4.2.1空格
    % 在数学环境中，行文空格在排版时会被忽略，比如$x,y$和$x, y$并没有区别。
    % 数学环境拥有独特的空格命令，如下例所示：
       \noindent$\mbox{没有空格},3/18\mbox{空}\,\mbox{格}$\ 
       $4/18\mbox{空}\:\mbox{格},5/18\mbox{空}\;\mbox{格}$\ 
       $9/18\mbox{空}\ \mbox{格},\mbox{一个空}\quad \mbox{格}$\ 
       $\mbox{两个空}\qquad \mbox{格},\mbox{负}3/18\mbox{空}\!\mbox{格}$
       %问题：在数学环境中中文无法显示，使用\mbox{中文}解决。
       %其中，最后一个命令是负向空格，会缩小正常的字符间距，其缩减长度是3/18正常空格长度。
       %事实上，以上命令也可以在数学环境外使用，其中使用最广泛的是\,，即上文提到过的千位分隔符。
       %在数学环境中，\,命令也应用广泛，比如下例的x与dx之间隐含了这种空格：
       \[\int_0^1 x \ud{}x = \frac{1}{2}\]
       
       %4.2.2间距
       %命令\abovedisplayskip和\belowdisplayskip控制了行间公式与上下文的间距，并且该间距的值不会随字号调整而调整。有时你需要自行指定，默认值是12pt plus 3pt minus 9pt。
       %多行公式的间距用\jot来控制，默认值为3pt。
       %命令\mathsurrond给出了行内公式与文字间距，除了预留空格之外的间距，默认值为0pt。
       %一个有趣的命令\smash，可以将输入对象的全高（即高度与深度之和）视为0来进行排版。
       \[\underline{\smash{\int f(x)\ud x}}=1\]
       %它也能够通过参数，单独指定忽略高度(t)或深度(b),如下所示:
       %高度是指排版对象在基线之上的部分，深度则指在基线之下的部分。
       $\sqrt{A_{n_k}} \qquad 
       \sqrt{\smash[b]{A_{n_k}}}$  %这边有点问题，输出总是有[b]
       
       % 4.2.3字号
       %LaTex提供4中字号尺寸命令。
       %\displaystyle:行间公式尺寸
       %\textstyle:行内公式尺寸
       %\scriptstyle:上下标尺寸
       %\scriptscriptstyle:次上下标尺寸
       
       % 4.2.4数学字体
       %将字体转为正体使用\mathrm命令输出正体。如需保留空格，使用\textrm命令，它既输出正体，也能正常输出空格。
       %\textrm命令内的字号可能不会自适应，\mathrm的表现则稳定得多。
       %\newcommand{\ue}{\mathrm{e}}
       $\ue$
       $\mathrm{ABCDabcde 1234}$ \ 
       $\mathit{ABCDabcde 1234}$ \ 
       $\mathnormal{ABCDabcde 1234}$ \ 
       $\mathcal{ABCDabcde 1234}$ \ 
       % 1.数学粗体
       % 数学粗体使用amsmath宏包支持的\boldsymbol命令。命令\boldsymbol只能加粗一个数学环境，其中很可能包括了标点符号，而这是不严谨的。
       %命令\mathbf就差得更远，它只能把字体转为正粗体，而数学字体的常用符号都是斜体。
       $\mu,M$\  
       $\boldsymbol{\mu} ,\boldsymbol{M}$ \ 
       $\mathbf{\mu,M}$ \ 
       % 2.空心粗体
       % 空心粗体使用amsfonts或amssymb宏包支持的\mathbb命令.
       %这里用\textrm而不是\mathrm,是为了保留空格。
       $x^2 \geq 0 \qquad \textrm{任意}x\in\mathbb{R}$ 
    
       % 4.3基本命令
       %基本函数默认用正体书写，包括下面这些函数;
       %\sin \cos \tan \cot \arcsin \arccos
       %\arctan \cot sec \csc \sinh \cosh
       %\tanh \coth \sec \csc \sinh \cosh
       %\dim \arg \deg
       %\lim \limsup \liminf
       %\sup \inf \min \max \det \Pr \gcd
       %以上函数中，最后两行的10个函数是可以带上下限参数的，即在行间公式模式下，上标和下标将在函数正上方和正下方上书写内容。
       %amsmath宏包允许\DeclareMathOperator{command}{definition}命令自定义基本函数，用法类似于\newcommand{cmd}{def}命令。如果命令带星号\DeclareMathOperator*{command}{definition},则可以带上下限参数。
       %此外有一个叫\mathop的命令，它可以把参数转换为数学对象，使其能够堆叠上下标。
       %\mathbin与\mathrel则能分别把参数转换为二元运算符和二元关系符，并正确设置两侧的空距。
       
       % 4.3.1上下标与虚位
       %用下划线和尖角符表示下标和上标。
       $a^3_{ij}$  \ 
       ${a_{ij}}^3\text{或}a_{ij}{}^3$  \ 
       $\mathrm{e}^{x^2} \geq 1$
       %\phantom称为虚伪命令。
       ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ \ 
       ${}^{12}_{\phantom{1}6}\mathrm{C}$\ 
       $a^3_{ij}$\ 
       $a^{\phantom{ij}3}_{ij}$
       %宏包mathtools提供了\prescript来避免上述的手动虚位调整。
       $\prescript{12}{6}{\mathrm{C}}$
       
       % 4.3.2微分与积分
       %导数直接使用单引号',积分使用\int符号。
       $y'=x \qquad \dot{y}(t)=t $ \ 
       $\ddot{y}(t)=t+1$
       $\ddot{y}+\dddot{y}=0$ \ 
       $\iint_{D}f(x)=0$
       $\int_{0}^{1}f(x)=1$ 
       %有时候需要更高级的微分号或积分号，其中\ud命令曾在4.2.1节讲解过。
       \[\left.\frac{\ud y}{\ud x}\right|_{x=0} \quad
       \frac{\partial f}{\partial x} \quad\oint\;\varoiint_S\]
       %上面例子中，对于\dot系的导数命令，LATEX只原生支持到二阶。后面的三阶、四阶导数命令需要amsmath宏包。
       %\int系的积分命令类似，而环形双重积分命令\varoiint需要esint宏包。
       % \left. 或 \right. 命令只用于匹配，本身不输出任何内容。
       
       % 4.3.3分式、根式与堆叠
       %分式使用$\frac{分子}{分母}$ 命令，或者使用amsmath宏包支持的\dfrac{分子}{分母}、\tfrac{num}{分母}命令来强制获得行间公式、行内公式大小的分数。如果想自定义分式样式，参考4.38节的\genfrac命令。
       \[\frac{x}{y}+\dfrac{x}{y}+\tfrac{a}{b}\]
       % amsmath宏包还支持另一个命令\cfrac{分子}{分母}，这个命令可输入连分式。
       \[\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{1+x}}\]
       %空根式用\surd输出，更常用的是\sqrt
       $\sqrt{2} \qquad \surd$ \ 
       $\sqrt[\beta]{k}$
       % 开方次数的位置可以用\leftroot与\uproot{argument}这两个命令微调，参数是整数。
       $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}\beta]{k}$
       %划线命令是\underline和\overline,用brace或者bracket代替line，就变成了水平括号命令，例如$\underbrace{text}$
       $\overline{m+n}$ \ 
       $\underbrace{a_1+\ldots+a_n}_{n}$ \ 
       $\overbrace{a_1+\ldots+a_n}^{n}$ \ 
       %可选参数：线宽；竖直空距
       $\underbracket[0.4pt][1ex]{a_1+\cdots+a_n}_n$   \ 
       %两个有重叠的括号要用一个箱子命令\rlap,这会在后面提到。在重叠括号命令结束后的首个空距，如下列中j之前的空距有些异常，这要用\,进行修正：
       \[b+\rlap{$\overbrace{\phantom{c+d+e+f+g}}^x$}c+d+\underbrace{e+f+g+h+i}_y+\,j\]\ 
       %事实上，\overline命令也存在问题，请比较如下命令：
       $\overline{A}\overline{B}$\ 
       $\closure{A}\closure{B}$ \ 
       $\closure{AB}$  \  %\closure在导言区有定义。
       %还可以输出能堆叠到其他对象上的箭头，比如向量符号：
       $\vec
       	a\quad \overrightarrow{PQ} $ \ 
       $\overleftarrow{EF}$ \ 
       %你也许还需要添加能够上下堆叠的箭头符。
       \[a\xleftarrow{x+y+z} b\]
       \[c \xrightarrow[x<y]{a*b*c}d\]
       %尖帽符号、波浪符号，还有yhmath宏包支持的圆弧符号如下所示：
       $\hat{A} \quad \widehat{AB}$\ 
       $\tilde{C} \quad \widetilde{CD} \qquad \wideparen{APB}$
       %在强制堆叠命令\stackrel{above}{under}中，位于上方的符号与上标大小相同。
       %如果有amsmath宏包，我们可以使用\overset或者\underset命令，前者与\stackrel{above}{under}命令完全等同。
       $\int f(x) \stackrel{?}{=} 1$ \ 
       $A\overset{abc}{=}B$ \quad
       $C \underset{def}{=}D$
       %一个很强大的堆叠放置命令\sideset{left}{right}{symbol},只用于巨算符。
       \[\sideset{_a^b}{_c^d}\sum\]
       \[\sideset{}{'}\sum_{n=1}\text{或}\,{\sum\limits_{n=1}}\] \ 
       %去心领域$\mathring{o}$也可以看作一种堆叠符，输出方式如下：
       $\mathring{U}$
       
       %4.3.4累加与累积
       %使用\sum和\prod命令,效果如下：
       \[\sum_{i=1}^{n}a_i=1 \qquad \prod_{j=1}^{n}b_j=1\] \ 
       %用\substack命令或者subarray环境，可以在累加或累积的下标中实现堆叠：
       \[\sum_{\substack{0<i<n \  0<j<m}} p_{ij}=\prod_{\begin{subarray}{1}i\in I\  1<j<m
       	\end{subarray}}q_{ij}\]
       %有时候需要强制实现堆叠的效果，可以使用\limits命令。如果堆叠目标不是数学对象，要使用\mathop命令。
       
       %4.3.5矩阵与省略号
       %最朴素的矩阵排版可以通过array环境和自适应定界符完成。
       \[\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}
       x_{11} & x_{12} & \ldots \ 
       x_{21} & x_{22} & \ldots \ 
       \vdots & \vdots & \ddots
       \end{array}\right)\]
       %还有一个\cdots命令。mathdots宏包支持省略号缩放，并提供一种罕用的斜省略号\iddots。
       %通常的矩阵使用matrix环境。
       \centering $\begin{matrix}
       0 & 1\ 1 & 0 \end{matrix} \qquad
       \begin{pmatrix} 0 & 2 \  2 & 0
       \end{pmatrix}$
       
       %方括号和花括号使用[Bb]matrix环境
       \centering $\begin{bmatrix}
       0&3 \ 3&0 
       \end{bmatrix}\qquad
       \begin{Bmatrix} 0 & 4 \  4&0
       \end{Bmatrix}$
       
       %行列式使用[Vv]matrix环境
       \centering $\begin{vmatrix}
       0&5 \ 5&0 
       \end{vmatrix}\qquad
       \begin{Vmatrix} 0 & 6 \  6&0
       \end{Vmatrix}$
       
       %宏包mathtools提供的带星号\matrix命令，可更改列对齐。
       $\begin{pmatrix*}[r]
       		100&-200 \  20&10
       \end{pmatrix*}$
       
    %在矩阵排版\dfrac分式时，行距处理如下例的\ [8pt]
    \[\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \ [8pt]
    \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}
    \end{bmatrix}\]
    
    %宏包amsmath还支持行内小矩阵\smallmatrix,这时需要手动加括号。
    矩阵 $\left(\begin{smallmatrix}
    x&-y \  y&x
    \end{smallmatrix}\right)$可以显示在行内。
    %最后是一种带边注的矩阵\bordermatrix,其用法有些奇怪。
    \[\bordermatrix{&1&2\cr 1&A&B\cr 2&C&D\cr}\]
       
    %4.3.6分段函数与联立方程
    %用cases环境书写分段函数，它自动生成一个比\left更紧凑的花括号。
    \[y=\begin{cases}
    \int x,&x>0 \  0, &x=0 \ 
    x-1,&x<0
    \end{cases},\,x\in\mathbb{R}\]
    %如果想生成display样式的内容(比如上面的积分只是text样式的)，那么用mathtools宏包的dcases环境代替cases环境。
    %如果cases环境的第二列条件不是数学语言而是一般文字，则可以考虑使用dcases*环境，列中用&隔开。
    \[y=\begin{dcases}
    \int x,&x>0\ 
    x^2,&x\leqslant 0
    \end{dcases}\]
    
    \[z=\begin{dcases*}
    y,&当$y$是质数\ 
    y^2,&其他
    \end{dcases*}\]
    
    %4.3.7多行公式及其编号
    %多行公式可以使用amsmath下的align环境，因为原生的eqnarray环境真的很差！！而且align环境不需要像array环境那样给出列的数目和参数，它能够根据&符号的数量来自动调整。
    %这个环境会自动对齐等号或者不等号，所以必要时请用&指定对齐位置。
    %align环境对齐实质上是表格，表格的奇数列居右，偶数列居左，因此可以利用空白列来调整布局。
    %下面是一个例子：
    \begin{align}
    	a^2  &= a\cdot a\ 
    	     &= a*a     \ 
    	     &=a^2
    \end{align}
    %Latex中长公式不能自动换行，请按照上例所示自动指定断行位置和缩进距离。
    %不过，breqn宏包的dmath环境可以自动换行，读者可以自行尝试效果。
    %至于多行公式换页，我们可以在导言区加上\allowdisplaybreaks(可选参数：1为尽量避免换页；2和4为倾向于换页)，或在特定位置加上\displaybreak(可选参数：0最弱，虽允许在下个换行符后换页，但不倾向于换页；4最强，表示强制换页；2和3的强度介于两者之间)。两种方式的默认参数都是4.
    %上例给出了三个编号，如果你只需要一个，可以如下进行：
    \begin{align}
    	a^2&=a\cdot a& b&=c\nonumber\ 
    	g  &=a*a & d&>e>f \nonumber\ 
    	step&= a^2 & &Z^3
    \end{align}
    
    %如果你想让编号显示在这三行的中间而不是最下面一行，可以把公式写在aligned或者gathered环境中，然后再嵌套到equation环境内。
    %如果你根本不想给多行公式编号，可以用align*环境。
    %另外，amsmath宏包的multline环境将自动把编号放在末行。首行左对齐，末行右对齐，中间的行居中。
    \begin{multline}
    	a>b \ 
    	b>c \ 
    	\therefore a>c
    \end{multline}
    
    %如果想在环境中插入小段行间文字，使用$\intertext{word or phrase}$命令，或者mathtools宏包的\shortintertext{text}命令。区别是后者的垂直距离间距更小一些。
    \begin{align*}
    	\shortintertext{若}
    	y &= 0 \ 
    	x &< 0 \ 
    	\shortintertext{则}
    		z &= x+y
    \end{align*}
    
    %当然，align环境只适用于分列对齐多行公式。如果要所有行居中，使用amsmath宏包的gather环境即可。这是一个非常实用的环境，你也可以用gather*环境排版居中、非编号的多行公式。
    \begin{gather}
    	X=1+2+\cdots+n \ 
    	Y=1
    \end{gather}
    
    %4.3.8二项式
    %二项式需要借助amsmath宏包的$\binom{above}{below}$命令。它也有像分式一样的行内和行间两个命令：$\tbinom{above}{below}$与$\dbinom{above}{below}$
    $\mathrm{C}_n^k=\binom{n}{k} \qquad a_n=\dbinom{n}{k}$
       
       %你也可以通过该宏包支持的\genfrac来自定义类似二项式命令。
       %\genfrac{left-delim}{right-delim}{thickness}{mathstyle}{numerator}{denominator}
       %thickness为分为分式线线宽，参数留空表示默认线宽
       %mathstyle从0-3由\displaystyle减至scriptscriptstyle
       %\newcommand{\Bfrac}[2]{\genfrac{[}{]}{0pt}{}{#1}{#2}}
       %你可以借助得到新的命令\Bfrac{arg1}{arg2}
       \[\text{定义} \Bfrac{n}{k}=\binom{k}{n}\]
       
       %4.3.9定理
       %在使用下述定理内容时，请加载amsmath宏包。
       %首先是定理环境格式的自定义。如同定义命令一样，在导言区添加如下命令：
       %\newtheorem{envname}[counter]{text}[section]
       %其中，name表示定理的引用名称，即下文将其作为一个环境名来识别。
       %text表示定理的显示名称，及下文中定理将以其作为打印内容。
       %counter参数表示是否与先前表明的某定理共同编号。section参数表示定理的技术层级：如果参数是section,表示每节分别计数;chapter表示每章分别计数。
       %来看一个例子。首先在导言区定义如下三个样式：
       %\theoremstyle{definition}\newtheorem{laws}{Law}[section]
       %\theoremstyle{plain}\newtheorem{ju}[laws]{Jury}
       %\theoremstyle{remark}\newtheorem*{marg}{Margaret}   
       %以上三个\theoremstyle即是预定义的所有样式类型。
       %definition是标题粗体，内容罗马体；
       %plain是标题粗体，内容斜体；
       %remark是代码中的“没有其他的。”改为单独一行，添加代码行号。
       %带星号表示不进行计数。在使用环境时可以添加可选参数，即可以括号的形式注释定理，示例如下：
       \begin{laws}
       	从不轻易相信。
       \end{laws}
       \begin{ju}[第二]
       	从不过分怀疑。
       \end{ju}
       \begin{marg}
       	没有其他的。
       \end{marg}
    	%amsthm宏包还提供了proof环境，并且用\qedhere指定证毕符号的位置。如果没有指定，将会自动另起一行。
       \begin{proof}
       	对直角三角形,有:
       	\[a^2+b^2=c^2 \qedhere\]
       \end{proof}
    
    	%4.4数学符号与字体
    	%4.4.1数学字体
    	%原生的数学字体命令如前面的表4.1所示。
    	%其他宏包支持的数学字体如表4.2所示。
    	$\mathscr{ABCDabcde 1234}$ \  %所需宏包mathrafs
    	$\mathfrak{ABCDabcde 1234}$ \  %所需宏包amsfonts或者amssymb
    	$\mathbb{ABCDabcde 1234}$ \  %所需宏包amsfonts或者amssymb
    	
    	%4.4.2定界符
    	%表4.3给出了一些数学环境中使用的定界符。
    	$
    	(  )  { or \lbrace \langle  \lfloor  \lceil  \| or \Vert [ or \lbrack  ] or \rbrack } or \rbrace  \rangle  \rfloor  \rceil  | or \vert  \uparrow  \downarrow  \updownarrow  \backslash  \Updownarrow  \Uparrow  \Downarrow  \ulcorner  \llcorner  \llcorner  \urcorner  \lrcorner
    	$
    	%最后四个定界符依赖于amssymb宏包。
    	%使用\left 、\right 还有\middle能够使定界符自适应公式的高度。
    	\[P\left(X \middle\vert Y=0\right)=\left.\int_0^1 p(t)\ud t\middle/ N\right.\]
    	%用单词big的变体（或其与字母l、r组成的）命令，可以手动指定定界符的尺寸，例如：
    	%加1,r,m对应上述三种自适应命令
    	$(\big (\Big (\bigg (\Bigg <\qquad \bigl[\frac{x+y}{x^2}\bigr]$
    	%有时，\left.和\right.能灵活地用于跨行控制，因为它们并非实际配对。
    	\begin{align*}
    		x &= \left(\frac{1}{2}x\right.\ 
    		&\left.\vphantom{\frac{1}{2}}+y^2+z_1\right)
    	\end{align*}
    	%上例中，\vphantom{text}命令用于输出一个高度虚伪，这使得第二行的自适应定界符与第一行同等大小。
    	%特别地，命令\mathstrut表示一个等同于行内圆括号高度的虚伪。
    	$\sqrt{b}\sqrt{y} \qquad \sqrt{\mathstrut b}\sqrt{{\mathstrut y}}$
    	
    	%4.4.3希腊字母
    	%希腊字母如表4.4所示。表中包含了小写希腊字母和大写希腊字母，其中部分希腊字母的输入方式与英文字母一致。
    	$\alpha \beta \gamma \delta \epsilon \varepsilon \zeta \xi A \Delta H \Lambda \Xi \varPi
    	T \varPhi \Omega \theta \vartheta \iota \kappa \lambda \mu \nu 
    	\tau B \varDelta \Theta \varXi P \Upsilon X \varOmega o \pi \varpi \rho \varrho \sigma \varsigma \Gamma E
    	\varTheta M O \Sigma \varUpsilon \Psi \upsilon \phi \varphi \chi \psi \omega \eta \varGamma Z I N \Pi \varSigma \Phi \varPsi
    	$
    	
    	%4.4.4二元运算符
    	%二元运算符包括常见的加减乘除，还有集合的交、并、补等运算。表4.5只列出常用的二元运算符。
    	$+ - \times \div \pm \mp \circ \triangleright \cdot \star \ast \triangleleft \cup \cap \setminus \bullet \oplus \ominus \otimes \oslash \odot \bigcirc \vee \wedge \bigcup \bigcap \bigvee \bigwedge$
    	
    	%4.4.5二元关系符
    	%二元关系符常常用于判断两个数的大小关系，或者集合中的从属关系。表4.6和表4.7只列出常用的二元关系符，更多内容请参考附录B的symbols-a4文档。
    	$ <  >\le \ge \ll \gg \equiv \neq
    	\prec \succ \preceq \succeq \sim \simeq \cong \approx \subset \supset \subseteq \supset \in \ni 
    	\notin \propto \parallel \perp \smile \frown \asymp \bowtie \vdash \dashv$
    	$\leqslant \geqslant \because \therefore \nless \ngtr \lessdot \gtrdot \lessgtr \gtrless \lesseqqgtr \gtreqqless \subseteqq \supseteqq \subsetneqq \supsetneqq$%表4.7中的二元关系符需要amssymb宏包。
    	
    	%4.4.6箭头与长等号
    	%表4.3中给出了几个箭头符号，但是不够全，这里给出了全部箭头符号，如图4.8所示。
    	$\leftarrow \rightarrow \leftrightarrow \Leftarrow \Rightarrow \Leftrightarrow \mapsto \nearrow \swarrow \leftharpoonup \leftharpoondown \rightleftharpoons \longleftarrow \longrightarrow \longleftrightarrow \Longleftarrow \Longrightarrow \Longleftrightarrow \longmapsto \searrow \nwarrow \rightharpoonup \rightharpoondown \iff$
    	
    	%LATEX定义了逻辑命令\iff、$\implies$ 和 $\impliedby$ ,这三个符号与双箭头符号大小相同，只是两侧的间距比单独用箭头符号的更大。
    	$x=y \implies a=b$\ 
    	$x=y \impliedby a=b$\ 
    	$x=y \iff a=b$\ 
    	%ammssymb宏包支持的箭头符号如表4.9所示。
    	$\dashleftarrow \dashrightarrow \circlearrowleft \circlearrowright
    	\leftrightarrows \leftrightarrows \nleftarrow \nLeftarrow \nrightarrow \nRightarrow \nleftrightarrow \nLeftrightarrow$\ 
    	%最后，宏包extarrows给出了一些使用的长箭头与长等符号。
    	$\xlongequal{\Delta}$\quad $\xLeftrightarrow{\Delta}$ \ 
    	$\xleftrightarrow{x=\tan t}$\ 
    	$\xLongleftarrow{x}$ $\xLongrightarrow{y}$
    	
    	%4.4.7 其他符号
    	%注意，冒号如果从键盘直接输入，会识别为关系符，例如:=。冒号在表示比例时可以直接使用，或者用$\colon$命令。
    	%类似在西文断词时使用\-命令，在数学环境中使用\*命令，可以提醒LATEX在此处可以断词。LATEX如果在此处断词，会自动补一个叉乘号。
    	%你也可以按照如下方式自定义，使LATEX在断行处使用点乘号：
    	%\renewcommand{\*}{discretionary{\,\mbox{$\cdot$}}{}{}}
    	
    	%表4.10和4.11所示是一些其他难以归类的符号，它们不全会在数学领域用到，只不过可以在数学环境下输出出来，以及被amssymb宏包所支持。
    	$\dots \forall \angle \hbar \spadesuit \flat \cdots \exists \infty \imath \heartsuit \natural \vdots \Re 
    	\triangle \jmath \clubsuit \sharp \ddots \aleph \nabla \ell \diamondsuit$
    	$\pounds \S \copyright \P \dag \ddag \textregistered$
    	$\square \bigstar \lozenge \mho \blacksquare \blacktriangle \blacklozenge \varnothing \hslash \blacktriangledown \measuredangle \eth$
    
    	
    \end{document}