sinc函数卷积_[傅里叶变换及其应用学习笔记] 九. 继续卷积的讨论

这份是本人的学习笔记，课程为网易公开课上的斯坦福大学公开课：傅里叶变换及其应用。

卷积在滤波中的应用

浑浊度(Turbidity)研究是关于测量水的清澈度的研究。大致方法是把光传感器放置到深水区域，然后测量光线的昏暗程度，测量出来的值将随时间变化。

(由于没有真实数据，下面用mathematica比较粗糙地模拟水域的浑浊度数据)

能看到信号主要集中在低频，我们需要把毛刺去除，也就是把高频去除，在频域进行低通滤波(Low Pass Filtering)

滤波后的波形如下

频域运算：\pi_{2\nu_c} F(s)；时域运算为卷积：2\nu_c sinc(2\nu_c t)*f(t)。

滤波概念

滤波(Filtering)通常等同于卷积，滤波是由滤波器实现的。

滤波器(Filter)是一个输入可变的函数(信号)与一个固定的函数(信号)进行卷积运算的系统。这个固定的信号叫做脉冲响应(impulse response)。

g \quad = \quad f \qquad * \qquad h

\qquad output \qquad input \qquad impulse \ response

卷积是在时域的表示方法，一般来说，频域的运算会比时域简单许多，因为频域只需执行相乘运算。

G(s) = F(s)H(s)

H(s)被称为传递函数(transfer function)，在设计滤波器时通常是设计合适的传递函数H(s)。

下面是比较常用的滤波器。

低通滤波器(low pass filter)，常用于图像压缩。

高通滤波器(high pass filter)，常用于边缘检测(edge detection)

带通滤波器(band pass filter)

卷积的含义

教授认为只需要从频域理解为函数的相乘即可，而在时域上不需要去具象化卷积。(I think it is equally idiotic to try to visualize convolution. I think the way to visualize convolution, if there is a way, is to think in terms of multiplying in the frequency domain.)

卷积的性质

一般来说f*g通常比单独的f和g更加平滑。

如：矩形函数\Pi是不连续的，两个\Pi函数的卷积是三角函数\Lambda，是连续的。

\mathcal{F}(\Pi * \Pi) = (\mathcal{F} \Pi)(\mathcal{F} \Pi) = sinc^2 = \mathcal{F} \Lambda

傅里叶导数定理

对原函数进行微分后，它的傅里叶变换等于其原函数的傅里叶变换乘以2\pi is

\mathcal{F}(f')(s) = 2\pi is(\mathcal{F} f)(s)

证明过程如下：

傅里叶逆变换有：

f(t) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} F(s)e^{2\pi ist}ds }

对其求微分，

$\begin{align*}

\frac{\partial f}{\partial t}

&= \int_{-\infty}^{\infty}F(s)(2\pi ise^{2\pi ist})ds \

&= \int_{-\infty}^{\infty}(2\pi isF(s))e^{2\pi ist}ds \

\end{align*}$

则有f'与2\pi isF(s)为傅里叶变换的关系

f' \ \leftrightarrow \ 2\pi isF(s)

推广开来有

\mathcal{F}(f^n)(s) = (2\pi is)^n(\mathcal{F} f)(s)

无限长柱上的热方程

U(x,t)表示时间t，位置x上的温度。

已知初始温度为U(x,0) = f(x)，热方程为U_t = \frac{1}{2}U_{xx}。

U(x,t)的求解过程如下：

对位置变量进行x求傅里叶变换，假设变换的结果为U(s,t)。

对热方程等号左边进行傅里叶变换，

$\begin{align*}

\mathcal{F}(U_t)

&= \int_{-\infty}^{\infty}e{-2\pi isx} \frac{\partial}{\partial t}U(x,t)dx \

&= \frac{\partial}{\partial t}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2\pi isx}U(x,t)dx \

&= \frac{\partial}{\partial t}U(s,t)

\end{align*}$

对热方程等号右边进行傅里叶变换，

\mathcal{F}(\frac{1}{2}U_{xx}) = \frac{1}{2}(2\pi is)^2U(s,t) = –2\pi ^2s^2U(s,t)

即有

\frac{\partial}{\partial t}U(s,t) = –2\pi^2s^2U(s,t)

求偏微分方程，得

U(s,t) = U(s,0)e^{-2\pi^2s^2t}

U(s,0) = \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}U(x,0)e^{-2\pi isx}dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi isx}dx = F(s) }

把U(s,0)的结果代入U(s,t)，得

U(s,t) = F(s)e^{-2\pi ^2s^2t}

转换为卷积格式

e^{-2pi ^2s^2t} = \mathcal{F}(\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}})

$\begin{align*}

U(s,t)

&= F(s)e^{-2\pi ^2s2t}\

&= (\mathcal{F} f)(\mathcal{F} (\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x2}{2t}}))\

&= \mathcal{F}(f* \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x2}{2t}})

\end{align*}$

U(x,t) = f(x) * \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{\frac{x^2}{2t}}