论文阅读笔记：Embedded Deformation for Shape Manipulation

论文阅读笔记：Embedded Deformation for Shape Manipulation

• 理解

• • 变换公式

• 优化条件

• • 旋转项
  • 正则项
  • 交互约束
  • 目标函数

理解

变换公式

进行仿射变换作用于对边并计算得到参数p。该公式揭示了对变形点施加仿射变换后对其自身位置的影响。

\tilde{\mathbf{p}}=\mathbf{R}_j(\tilde{p}-\tilde{g}_j)+\tilde{g}_j+\mathbf{t}_j

周围多个变形点对某一点的影响
\tilde{\mathbf{v}}_i=\sum_{j=1}^{m}w_{j}(\mathbf{v}_i)[\mathbf{R}_j(\mathbf{v}_i-\mathbf{g}_j)+\mathbf{g}_j+\mathbf{t}_j]
通过加权处理限定在knn范围内
w_j(\mathbf{v}_i)=\left\{\begin{matrix} (1-\frac{\left \| \mathbf(v_i)-\ mathbfg g_j \right \|}{d_{max}})^2 \\ 0 && 其余点 \end{matrix}\right.
待变形点的法向量随之发生变换（如基于SO3的刚性变换下法向量保持不变；而基于Sim3的非刚性变换下则会发生变化）
\tilde{\ mathbfn_i}=∑^m_{j=1} w_j( mathbfi_v) mathrm R^{-T}_{ j } mathbfn_i

优化条件

旋转项

为了保留模型细节特征，变换应为SO3，即局部尽可能约束为刚性变换。

The objective function represents detail preservation explicitly by constraining affine transformations to be rotations. As a result, local features undergo deformation with maximal rigidity.

正则项

A second energy term acts as a regularizer in constraining deformation, enforcing agreement between affine transformations of adjacent graph nodes.

交互约束

两种类型的约束：可变约束（handle constraints）和固定约束（fixed constraints）。在用户交互场景中使用这些约束时，在用户进行某些操作后会自动重新生成表面内容。

handle types involve selecting groups of model vertices that act as handles for user manipulation, while fixed constraints involve selecting groups of model vertices that remain stationary during manipulation.

目标函数

用扰动模型得到雅克比矩阵，用高斯牛顿优化非线性问题。

Cholesky factorization求增量状态