全要素生产率的DEA-malmquist方法详解
在学习DEA-malmquist方法时，发现现在的文章都直接从距离函数
出发，却没有解释距离函数到底代表什么，在参考了文献后，按个人理解整理如下。
在t时期，设定技术集为
，则在该技术水平下投入集为
(1)
代表给定产出
所需要的投入
的所有可能。
对投入集，有一些假定：① it is a closed convex set for all 
②
③
, 
。这些假定翻译一下就是②有产出，则必有投入③投入的更多，产出却可能不变；相同的投入，产出可能会减少。
现在假设有K个观察对象，N种投入，M种产出，T个周期。由(1)式
式(2)的约束条件体现了规模报酬不变性和投入产出的可自由组合性。对于K个观察对象的投入情况，做一个线性组合，那么就能得到相同线性组合后的产出。比如，A一小时能种10棵树，B一小时能种5棵树，那A和B一起一小时就能种15棵树，两小时就能种30棵树（规模报酬不变，不会因为疲惫减少产出）。而A和B三小时种30棵树、两小时种25棵树的情况都是在既定技术范畴内，是合理的，这也就是≥和≤的含义。
在t时期，基于投入的Malmquist指数定义为
(3)，
式(3)测度了在
的条件下
可以收缩的最大程度。也就是
和要达到
产出所需的最优投入
间的距离。显然，
。
进一步的，针对单个观察对象，t时期的Malmquist指数的计算为
之后，就是常见的从t时期到t+1时期的Malmquist指数公式
![M_i{t+1}(y^{t+1},x^{t+1},y^t,x^t)=[\frac{D_i^t(y^{t+1},x^{t+1})}{D_i^t(y_t,x_t)}*\frac{D_i^{t+1}(y^{t+1},x^{t+1})}{D_i^{t+1}(y_t,x_t)}]{1/2}](https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/images/2025-03-02/FEfj2l0R9DTgqbWt4GLyur7SNX5w.png)
(5),
涉及到四个线性规划的问题，这部分就不考虑了，不会。指数计算软件都能实现，Rstudio调包Benchmarking。
式(5)还可以再分解为EFFCH和TECH两部分，分别代表技术效率变化指数和技术进步变化指数，都很好理解了。
Fare关于这方面的文章有很多，除了从投入角度定义，还有从产出角度定义的，郑京海（2002)文章中理论部分引用的就是Fare从产出角度给出的。
参考文献：
[1]郑京海,刘小玄,Arne Bigsten.1980—1994期间中国国有企业的效率、技术进步和最佳实践[J].经济学(季刊),2002(02):521-540.
[2]Fare.Grosskopf.Productivity Changes in Swedish Pharamacies 1980-1989: A Non-Parametric Malmquist Approach[J].The Journal of Productivity Analysis, 1992(3):85-101.