Wolfram分析：计算机是否会弱化数学教育？

由于我最近听说康拉德·沃尔夫拉姆 (Conrad Wolfram) 的最新TED演讲标题是《停止教授计算,开始教授数学》(https://blog.wolfram.com/2010/11/23/conrad-wolframs-ted-talk-stop-teaching-calculating-start-teaching-math/) 将会发布,我也想探讨一下在讨论数学教育中运用计算机时所面临的最大担忧.

通过计算机辅助实现"弱化式教育"教学模式，在这种模式下反对者则认为这些观点值得商榷，并强调动手实践的重要性。只有在亲自参与的情况下才能深入理解所发生的事情。

让我来思考一下这个问题。我知道，在我们的教育体系中，在某个阶段必须解决这个问题。

二战古斯塔夫枪的初始速度设定为820米每秒（始终采用SI制单位）。若忽略空气阻力影响，请计算其以45度角射击时的最大射程是多少？

当我在Mathematica中运用它时，基本上能够建立微分方程组和方程组并得出解答。

哦！一位批评论者表示。这位批评论者指出：计算机似乎削弱了这一主题——根本无需费力思考。他/她从未解决过微分方程；也从未解过代数方程；而电脑却代劳完成了所有工作。

对此表示赞同的是这个例子确实令人失望，并非由于计算机进行了运算操作的结果所导致。然而该例明显不合理地给出了错误的答案

问题中涉及的一支枪的有效射程为48公里，并非我们之前计算出68公里的结果。这并非Mathematica软件的问题，在手动操作方面也难以解决这一问题——方程式确实存在缺陷。就当前教育环境而言，在这类学校中所教授的一些公式并未出现明显的错误；在过去的学业环境中常能取得高分成绩。然而实际上这些问题公式并不正确：因为这些公式未能准确反映现实情况中的相关变量关系

问题经过了简化处理，并且剔除了大气的影响以及隐含地剔除了除大气之外的任何其他潜在影响和复杂因素。满足以上条件的情况难以想象。

归根结底是因为如果没有计算机它很快就会变得难以手工解决在追求简洁的手工可解决教育体系中唯一可行的办法是研究简化版的问题

在教育领域中所探讨的关键问题之一是关于假设的概念。与之不同的是，在教学过程中应当引导学生去理解并接受那些潜在的选择性假说。同时必须考虑到每个特定假说对于方案有效性的潜在影响因素。

为了阐述这一观点，我们可以考虑一个稍微复杂的问题。其主要缺陷源于空气阻力的影响。

拖拽效果

阻力由这个公式给出：

其中pb代表基础空气密度,A即为有效面积,Cd即为阻力系数（反映形状流线程度的重要指标）。然而，在阻力影响运动方向时,我们需要根据x和y速度将其分解为x和y分量

请将它放入我们的系统中。
这是一个复杂的问题（另一个重要问题是学生应当理解的一个现实挑战）。因此我会采用数值方法来求解（因为完全手工解决几乎是不可能的）：

由于我们忘记了某些信息,因此我决定访问维基百科以获取关于空气和古斯塔夫枪的更多信息

阻力系数受外壳形状的影响：其中流线型的阻力系数最低可达 0.04；立方体的阻力系数则高达 1.05；而球体的阻力系数约为 0.47。为了避免被指出其数据不可靠，请避免使用声称其为 0.28这一数值的说法；建议扣分以反映数据不可靠性

高度影响

我们能够引入多种关键影响因素来优化系统性能。如果我们在进行网球运动时可能会忽略这些因素的影响，则可能导致设计缺陷出现；然而，在某些特殊情况下该球壳会达到15公里的高度并伴随大气密度明显降低的现象发生。这即是我们所述的 Drag 函数的一个实例版本，在此方案中我们将大气密度作为一个重要的输入参数来进行计算处理：

为了建立描述空气密度变化规律的数学模型。这是一个具有挑战性的研究课题。为了避免学生无限期地被困在应用基础理论解决初步问题的过程中，我们需要提供现成的应用模型供学生直接使用。

这是空气密度模型和一些关键值，有效至大约 11000m（我假设这足够接近）。

预计学生会学到大量这些公式是不切实际的——我将教授他们一些基础公式作为例子（如sin(2\theta) = 2 sin\theta cos\theta），以及那些已经被遗忘已久的其他变体。这意味着我可以提供一本教科书作为资源，在需要时帮助他们找到所需信息。然而，在向学生传授正确公式的前提下，请记住：识别最适合他们需求的模型类型，并了解如何填充模型中的空白部分是他们在现实世界中必须掌握的另一项重要技能。

随着高度升高而导致地表重力逐渐减少；当我进行查找时，在这一处地表g值表现更为理想。

事实证明，这种影响在弧顶只有 0.3% 左右。但是很容易添加，所以我会使用它。

当前阶段，在我的工作流程中我将把它们纳入方程组内，并且在后续步骤中我还将引入一个风速参数（假设在飞行过程中各个高度处的风速保持不变）。

现在我们的射程为 48 公里。很明显，模型很重要：

我们还有什么办法可以不那么愚蠢？

距离真相还有很长一段路程需要探索。没有考虑到地球并非完美球形以及其随高度变化的速度气流和湍流现象，在二维空间中进行分析是不切实际的做法。忽视了一个重要点：由于地球自转的影响以及非球形形状的变化特性，在赤道与两极之间的重力水平会发生显著差异。当金属物体穿越地球磁场并受到来自月球、太阳以及其他行星引力场的影响时，则会在金属内部产生微弱涡流现象出现的可能性不容忽视。构建一个完美的模型确实是一项艰巨的任务……也许值得深入研究以撰写一篇博士论文；但就目前而言，在实际应用层面可能并不具备实用价值

我必须权衡利弊后作出决定，并将内容精简以便符合博客文章篇幅要求，在此过程中还需要凭借直觉判断哪些改进措施将带来最佳效果的同时需要关注那些可量化的参数这些是我们为了构建现实世界模型所做的一些假设但并未传授给读者这些经验

更关键的是，在这里没有投入时间用于验证测试。我的模型可靠吗？我对那些看似不重要的直觉是否正确？我是否准确地输入了方程式？对于学生或教师而言，在校对我的工作不再是一项可有可无的任务。我希望有专家能指出我在文章中的某个问题。同样大多数读者不会注意到它。校对则是我们应当传授的一项基本技能。我的模型能否适应低海拔地区的简单模型？当直接向上发射、直接发射或采用零速度等已知初始条件时，请问其行为如何？

单纯依靠人工检查的方法难以达到理想的效果。目前这个问题具有高度的复杂性和挑战性，在同类问题中往往既令人困惑又难以预测

当模型表现令人满意时

一眼看过去，我们可以看到它有300多米。

如果风速变化量达到2mph，并且初始速度与发射角度的标准偏差控制在1%以内，则在距离目标1公里处命中概率是多少？

教师将计算机作为教学工具时会遇到的主要挑战是在教授学生如何在复杂性和准确性之间做出明智选择；同时需要帮助学生识别出所需的知识、数据以及计算方法，并指导他们进行有效的验证；换句话说，在教学过程中应注重培养学生的思维能力而非仅仅教授他们如何操作计算程序。

一方面认为，在教育体系中培养学生的自信能力至关重要。我们应当采用有趣的且具挑战性的教学方法，并鼓励学生面对复杂问题时不要轻易放弃——这些问题往往既缺乏简洁的答案又显得混乱无章，并且可能尚未被广泛接受的答案问题都有其合理的解决途径——这与他们在未来工作中会遇到的真实困境相吻合