三维旋转矩阵_三维旋转：欧拉角、四元数、旋转矩阵、轴角之间的转换
0 引言
来鹅厂实习了一段时间，因为没有什么特别紧急的需求(hahahahaha)，所以主要花在了学习和捣鼓一些小工具上。有一个小需求是要实现鼠标拖动球体的转动，然后发现我不再能只用欧拉角来糊弄过去了。然后又发现，网上大部分资料的采用的欧拉角顺规都是xyz，然后我基于D3D11的辣鸡框架用了zxy，公式不太能直接套用，于是摸了两三天鱼，整理了一下几种三维旋转表示(欧拉角，四元数，旋转矩阵，轴角)与他们之间的相互转换的资料，并且加入了自己的一些推导，给出这些转换公式的推导思路和细节 ，这样子如果各位想使用其他欧拉角顺规和定义的时候，自己动手算一算就好了。
至于这几种三维旋转的表示形式随手百度Google都可以看到很多科普文的，这里着重说一下他们之间的转换 的细节吧(不少公式和推导，预警一波，如果有错误请指出~)
图：下文介绍的几种转换路径
1 欧拉角(Euler Angle)与旋转矩阵(Rotation Matrix)
1.1 欧拉角 ---- > 旋转矩阵
D3D和OpenGL不同，用的坐标系是Y轴竖直向上的左手系，所以欧拉角的顺规是跟广大blog、OpenGL不一样的，那么博客上、甚至维基百科[2]上的各种基于右手系xyz顺规(分别对应roll, pitch,yaw)的看起来就不太能随随便便直接用了。
首先欧拉角旋转序列(Euler Angle Rotational Sequence)一共有12种顺规，6种绕三条轴的旋转(也叫Tait-Bryan Angle ，XYZ,XZY,YXZ,YZX,ZXY,ZYX)，另外6种只绕两条轴的旋转(也叫Proper Euler Angle ，XYX,YXY,XZX,ZXZ,YZY,ZYZ)。如果相邻两次旋转是绕同一条轴，例如XXY，那么其实可以坍缩成XY。那么只绕一条轴旋转就根本不够自由度就不需要说了。也就是说，一共有12种基础旋转的组合顺序，它们可以旋转出三维的所有旋转状态。所以一共是12种旋转顺规(可以表示所有旋转的集合)，DirectXMath库采用的是ZXY顺规 ，分别对应着Z-Roll，X-Pitch，Y-Yaw。
图：欧拉旋转与Yaw-Pitch-Roll的直观意义(网图魔改)
注意：那么下文我们都采用ZXY顺规来推导公式！采用列主向量(column major)！(但是注意DirectXMath API生成的矩阵其实是行主向量(row major)的)
参考一下维基百科的
[3]Euler Angle
Euler angles - Wikipediaen.wikipedia.org
[4]Rotation Matrix
Rotation matrix - Wikipediaen.wikipedia.org
可以知道，欧拉角构造旋转矩阵就直接把三个Elemental Rotation Matrix乘在一起就好了(LaTeX扣得真累orz)：
其中：
上面的欧拉角--->矩阵的结果与维基百科Euler Angles[3] 
给出的结果一致，那应该稳了：
图：其实可以不用自己推的，维基百科把12种顺规乘出来的矩阵都写出来了
.
1.2 旋转矩阵---- > 欧拉角
参考一篇NASA的关于姿态描述的技术报告[1]的Appendix-A6和[5]，我们可以用旋转矩阵元素的相乘、相除、反三角函数等操作去“凑”出欧拉角 。[5]给出了从XYZ顺规提取欧拉角的方法、步骤、思路，[1]则给出了全部12种顺规的欧拉角提取公式，但是没有给一些细节注意事项。所以总结一下，根据[1]、[5]、[7]《Real Time Rendering 3rd Edition》4.2.2和自己的推导，从ZXY顺规旋转矩阵提取欧拉角的公式是([1]原文下标似乎有点小问题)：
-
Y axis yaw angle:
-
X axis pitch angle:
-
Z axis roll angle:
.
注意到一点，注意到矩阵的每一个元素都是pitch angle 
的函数…所以当 
即 
的时候，这时候其他的欧拉角提取表达式就凉凉了(分子分母都是0, arctan和atan2都没有意义了)….其实pitch angle 
恰好就是Gimbal Lock的位置。在Gimbal Lock的时候，旋转矩阵会退化为：
.
那么要进一步处理万向节死锁的corner case就需要分两种情况：
其中要给
或者 
其中一个欧拉角赋值，另外一个就按等式计算出来。
.
同样的，要给或者 其中一个欧拉角赋值，另外一个就按等式计算出来。
.
从旋转矩阵提取欧拉角的公式跟欧拉角顺规的选取有关，因为旋转矩阵的元素会略有不同，但是思路都是一样的，就是根据旋转矩阵的解析表达式+反三角函数凑出来 23333。
2 四元数(Quaternion)与旋转矩阵
2.1 四元数---- >旋转矩阵
众所周知的是，欧拉旋转是有万向节死锁(Gimbal Lock)的问题的。幸好我们有四元数(Quaternion)这种数学工具可以避免这个情况。一般来说，我们都会用单位四元数 
来表示旋转，其中 
。那么给定一个单位四元数，可以构造旋转矩阵(column major)[1][4][8][14][15]：
这个四元数构造的大概思路就是把四元数的旋转操作写成矩阵形式(注：给定一个用于旋转的单位四元数 和被旋转的三维向量 
，那么要直接用四元数旋转这个向量，则我们首先要构造一个纯四元数 
，设旋转后的向量为 
，旋转后的向量构造的纯四元数为 
，那么 
)。因为是用四元数来构造矩阵的，所以这个矩阵构造公式就没有欧拉角顺规的说法了。
.
2.2 旋转矩阵---- >四元数
那第一步肯定是判断3x3矩阵是一个正交矩阵啦(满足 
)。那么如果这个矩阵已经是一个合法的旋转矩阵了，要从旋转矩阵里提取四元数，也是可以像提取欧拉角那样，用参数化过的矩阵的表达式凑出来 。参考[8]《Real Time Rendering 3rd edition》Chapter4的思路，我们观察一下用四元数分量进行参数化的矩阵
，然后经过一顿操作，我们发现：
于是我们再凑出个实分量
，就可以把四元数四个分量都用矩阵元素表示出来了。于是我们又机智地发现了一个等式：
其中 
是矩阵 
的迹(trace)，也就是矩阵对角元素的和。因为这里用的是3x3矩阵，跟其他资料里面的表示有一点不同。所以我们可以把四元数的四个分量都用矩阵元素凑出来了：
有一点《Real Time Rendering》提到的， 绝对值比较小的时候，可能会出现数值不稳定的情况，那么想要数值稳定的话就得用一种不用除法的方式来凑，在这不展开了，可以看一下RTR 2333。
3 欧拉角与四元数
3.1 欧拉角---- >四元数
首先提一下四元数的乘积：
参考维基百科[2]的思路，欧拉角构造四元数，跟欧拉角构造旋转矩阵一样，就是把三个基础旋转Elemental Rotation组合在一起。
Conversion between quaternions and Euler anglesen.wikipedia.org
那么用于旋转的四元数 
的表达式是：
这个我自己推导的结果跟[1]NASA Technical Report的Appendix A给出的结果对比过了
https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770019231.pdfntrs.nasa.gov
([1]中四元数记号是 
)，看起来没什么问题。
.
3.2 四元数---- >欧拉角
本来我以为，从四元数提取欧拉角的思路可以跟旋转矩阵提取欧拉角类似，也是用四元数的元素运算和反三角函数凑出公式来。后来我发现这简直就是一个极其硬核的任务，展开之后每一项都是六次多项式，画面有一丢暴力且少儿不宜，直接强行凑的话画风大概是这样：
这个结果跟欧拉角参数化的旋转矩阵的 
的表达式是吻合的。但这还只是最好凑的那一个，惹不起惹不起。所以舒服的思路还是四元数-- >旋转矩阵-->欧拉角，想一步到位的话，把四元数分量参数化的旋转矩阵、欧拉角参数化的旋转矩阵结合在一起，参考下旋转矩阵转欧拉角的方法，替换下元素就完事了。这里就不把公式展开了，因为四元数直接转欧拉角 跟 旋转矩阵转欧拉角一样，依旧是要处理gimbal lock的corner case，还是那么麻烦，所以这里先鸽了23333
4 轴-角(Axis-Angle)
4.1 轴角---- >四元数
轴-角(Axis-Angle)顾名思义就是绕某条单位轴旋转一定角度，从这个意义上看，它构造四元数是非常舒服的，毕竟直观的几何意义有一点点类似，绕单位轴 
旋转 
的四元数是：
.
4.2 轴角---- >旋转矩阵
Axis Angle转Rotation Matrix可以从[9]罗德里格斯旋转公式Rodrigues Rotation Formula开始推导。
](https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formulaen.wikipedia.org!%5Bd15f725c3840f2055c3ee1480761b6ec.png%5D(https://ad.itadn.com/c/weblog/blog-img/images/2025-05-02/dEyY9o0SjOR57F8shqmap6CePVB2.png)){kind=link}
Rodrigues' rotation formula
Rodrigues' rotation formulaen.wikipedia.org
设 是我们要旋转的单位向量，旋转轴为 
， 绕 旋转角度 ，那么旋转后的向量为：
这个公式的推导思路是这样子的，我们先对向量 进行正交分解，分解成投影到旋转轴 的分量和垂直于 的分量：
其中：
图：魔性p图，假设k和v都在屏幕这个平面上吧
于是绕 旋转向量 其实就是把上面正交投影后的向量分别旋转之后再加起来 。那么很明显的，投影到旋转轴上的部分 
都跟旋转轴共享了，那么自然旋转之后的结果就没有变化了，于是我们只需要旋转和旋转轴垂直的部分 
。那么这个旋转后的表达式就是：
然后我们不按wikipedia里面坑爹的、不考虑下文的变形，自己推一波：
这里我们把旋转后向量的表达式变形得只剩下叉积(cross product)，去掉点积(dot product)了 ，这样子我们才可以把这个绕轴旋转的表达式写成矩阵形式。怎么写呢？首先叉积可以写成矩阵形式：
Cross product - Wikipediaen.wikipedia.org
于是罗德里格斯旋转公式的变换就可以写成矩阵形式：
展开之后就是：
罢工罢工！！LaTeX敲到我头皮发麻了！！
(不那么标准的)引用
[1]Henderson, D.M.. Euler angles, quaternions, and transformation matrices for space shuttle analysis[C]//NASA, Jun 09, 1977.
[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles
[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix
[5] Slabaugh G G. Computing Euler angles from a rotation matrix[J]. 1999.
[6] Mike Day, Converting a Rotation Matrix to a Quaternion. https://d3cw3dd2w32x2b.cloudfront.net/wp-content/uploads/2015/01/matrix-to-quat.pdf
[7] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p68-p69, 2008.
[8] Tomas K.M. , Eric H., Naty H.. Real Time Rendering 3rd Edition , p76-p77, 2008.
[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues'_rotation_formula
[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Conversion_to_matrix_multiplication
[11] http://mathworld.wolfram.com/RodriguesRotationFormula.html
[12] https://zh.wikipedia.org/wiki/四元數
[13]
[14] Quaternion and Rotations, http://run.usc.edu/cs520-s12/quaternions/quaternions-cs520.pdf
[15] https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation
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作者：鸡哥
_原文：https://zhuanlan.zhihu.com/p/45404840_
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