阅读笔记（arXiv2022）Submodularity In Machine Learning and Artificial Intelligence

次模性在机器学习和人工智能中的应用

J. Bilmes (Year). An exploration of submodularity within machine learning and artificial intelligence applications. arXiv preprint arXiv:2202.00132.

本文的核心内容概述：

1. Submodular Function Basics:

• Submodular functions are set functions defined over finite sets that exhibit the property of diminishing returns.
• These functions can be either monotone or nonmonotone, but they must satisfy particular submodularity criteria.
• Submodular functions are particularly useful in combinatorial optimization problems, as they allow for the identification of approximate optimal solutions within polynomial time.

2. 次模函数的性质及优化：
- 次模函数拥有多种等价定义，包括减缩回报特性与四点准则。
- 次模函数优化问题可采用贪心算法等手段实现有效的求解策略。
- 其连续延拓与多面体结构亦被探讨，并有助于在连续空间内有效处理相应的优化问题。

3. 次模函数在机器学习和人工智能中的应用：
- 次模函数被广泛应用于数据总结、特征选择、聚类分析、主动学习以及概率建模等多个领域中。
- 次模函数能够被用来设计核心集（coresets）并简化大规模数据集的处理过程，在提升机器学习模型训练效率方面表现出显著优势。
- 次模优化技术有助于提高算法的鲁棒性并有效降低数据冗余性。

4. 历史应用和算法：
- 在其经济学、博弈论及组合优化等领域的悠久历史中，默认情况下次模函数已得到广泛运用。
- 综上所述，在次模优化领域中研究者主要关注贪婪算法、Frank-Wolfe算法以及Fujishige-Wolfe算法等经典方法。
- 此外，在学习与近似方面也进行了深入探讨。

5. 结论：
- 次模函数作为机器学习领域的重要工具，在优化各种复杂问题时展现出显著效果。
- 在次模优化方面取得了多项研究成果，并表明这一领域有望取得更多进展并得到广泛应用。

正文：

0. 摘要

本文主要对次模性和超模性及其相关属性进行了概述。具体而言，在这一部分中我们不仅提供了大量次模性的定义，并且详细描述了多种示例次模函数及其推广方案；同时列举了离散约束的具体案例，并对基本算法进行了深入讨论（涵盖最大化、最小化及其他操作）。此外还简要介绍了连续域上的次模扩展方法以及相关的应用场景。随后我们将重点探讨次模性在机器学习与人工智能领域中的应用价值

1. 引言

在机器学习领域中相当一部分问题都涉及某种形式的优化过程。从一个较为抽象的角度来看，“学习”本身的问题本质上可被视为在一组参数上进行目标函数最优化的任务，并且这一目标函数通常由数据来进行参数化建模。例如，

，其中

是一个连续值参数向量，

该集合由一系列样本数据点组成，并被广泛认为是机器学习理论和各种机器学习应用中的关键数学方法。研究者们发现许多看似不同的优化任务（如非线性分类[SS02]、聚类[LG07]以及降维[WPS 05]）都可以转化为统一的凸规划模型。在最小化凸损失函数时，在保证全局最优解的前提下，在处理大规模问题时也是可行的。此外，在连续优化问题的空间中存在目标函数结构性质这一内在特性。然而也有许多机器学习问题本质上是离散的，在这些情况下必须在离散参数空间中进行最优化操作而不是连续参数空间中进行操作。

然而，在机器学习领域中存在许多本质上属于离散性质的问题，在这种情况下优化过程必须在离散参数空间中进行而不是在连续参数空间中。在这种复杂场景下给定一组可能用于分类器输入的特征挑选出有用子集是一个具有挑战性的任务如果特征总数达到100个那么可能的子集数量将超过200个这使得穷举搜索变得不可行因此需要采用其他解决方案以有效减少计算负担同时不失准确性一种可行的方法是选择训练数据的一个精炼子集而不是直接从特征中挑选这不仅可以减少计算成本还能避免因处理过量数据而产生的冗余问题这一策略背后的动机包括训练数据规模过大或者存在冗余情况使用全量数据会导致不必要的开销因此寻找一种既能保证忠实反映整体数据状态又能有效减少计算负担的方法显得尤为重要例如人工标记和注释训练数据集合是一个耗费资源且容易出错的过程与其花费大量时间和精力标记全部数据或许可以选择一个高质量的代表子集其标签分布能够与整体数据保持一致水平这正是批量主动学习方法所追求的目标